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  • Utilisateur Brainly
2013-04-25T19:29:59+02:00

Soit u(n+1)=(3u(n)+4)/(u(n)+3) et u(0)=-1

 

1) u est définie par mode de récurrence

 

2) si u(n+1)=f(u(n)) alors f(x)=(3x+4)/(x+3)

f est une fonction homographique croissante sur (0;+∞[

 

3) graphique laissé au lecteur....

on observe : u(1)=0,5 ; u(2)=0,57 ; u(3)=1,91 ; u(4)=1,98 ; u(5)=1,99; ...etc

 

4) conjectures :

* (u(n)) est croissante

* (u(n)) est minorée par -1 et majorée par 2

* (u(n)) est convergente vers 2

 

5) v(n+1)=(u(n+1)+2)/(u(n+1)-2)

                =((3u(n)+4)/(u(n)+3)+2)/((3u(n)+4)/(u(n)+3)-2)

                =(3u(n)+4+2u(n)+6)/(3u(n)+4-2u(n)-6)

                =(5u(n)+10)/(u(n)-2)

                =5(u(n)+2)/(u(n)-2)

                =5*v(n)

donc v est une suite géométrique de 1er terme v(0)=-1/3 et de raison q=5

 

6) v(n)=v(0)*q^n=-1/3*5^n

v(n)=(u(n)+2)/(u(n)-2)

donc u(n)=(2v(n)+2)/(v(n)-1)

donc u(n)=(-2/3*5^n+2)/(-1/3*5^n-1)

 

ainsi on a bien : lim(u(n))=2