Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production, en euros, est donné en fonction du nombre q d'articles fabriqués par : C(q) = 2q au carré + 10q + 900 pour 0 < q < 80. Tous les articles fabriqués sont vendus ; la recette totale en euros est donnée par R(q) = 120 q. a) Vérifier que le bénéfice total est donné par : B(q) = -2(q au carré - 55q +450), puis que la forme factorisée de B(q) est : B(q) = -2(q -10)(q - 45). b) Pour quels nombres d'articles produits la production est-elle rentable?

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Réponses

2013-04-09T13:26:44+02:00

Recette des ventes : 120q

Cout de production : 2q² + 10q + 900

a)
Bénéfice = Recette - cout
B(q)= 120q - (2q² + 10q + 900)
B(q)= -2q² + 110q - 900
si on factorise par -2 :
B(q) = -2 (q² - 55q + 450)

On vérifie la forme factorisée et développant :
B(q) = -2(q - 10) (q - 45)
B(q) = -2(q²-45q -10q -450)
B(q) = -2(q²-55q -450) C'est bien la même chose.

b) Pour que ce soit rentable il faut que les bénéfices > 0
Les deux solution pour bénéfice = 0 sont
A] q=10 => B(q)=-2 x 0 x -35 = 0
B] q=45 => B(q)=-2 x -55 x 0 = 0

Après ça dépend de ce que tu as vu en cours.
-Soit tu traces juste la courbe et tu vois que B(q) est >0 entre les 2 solutions (entre 10 et 45)

-Soit tu as étudié les dérivées :
En dérivant 
B(q)= -2q² + 110q - 900
on obtient
B'(q)= -4q + 110
Tu otient que pour 
q=10 la dérivée est positive B'(q) = -40+110
et donc que B(q) est croissant en q = 10 
q=45 la dérivée est négative B'(q)
et donc que B(q) est décroissant en q = 45 

et donc que les bénéfices sont positifs entre 10 et 45

Voila j'espere que sa va t'aider :)