On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD).

1) Calculer AE et BD.

On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.

2) 1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK. b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

3) 2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC. b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure.

4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM. b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.

5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus. b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

J'en suis à la méthode 2 et je n'arrive vraiment pas à trouver de solution ! Help ! Merci de votre reponse

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Réponses

2012-08-30T15:31:41+02:00

bonjour

calculer AE et BD:
théorème de Pythagore sur les triangles rectangles ABE et DAB :
AE² = AB² + BE² = 1² + (V(2)/2)² = ...
BD² = ....

1ere méthode :
théorème de Thalès, calculer AK et BK

configuration de Thalès "en papillon" : tr. AKD et BKE
KD/KB = KA/KE = AD/BE
tu dois trouver que AD/BE = 2

or KE = AE - AK = V3/V2 - AK
donc AK/KE = AD/BE
<=> AK = ...

fais de même trouver BK

puis, théorème de Pythagore pour prouver que AKB est rectangle :
AK² + BK² = ... tu dois trouver 1, c'est-à-dire AB²


2ème méthode :
rappel : centre de gravité = point de concours des médianes

on a : E milieu de [BC] donc (AE) médiane issue de A
et (BD) médiane issue de B
(intersection des diagonales du rectangle ABCD : elles se coupent en leur milieu)

or par déf., K est l'intersection de (AE) et (BD)
donc K est le centre de gravité de ABC
puis AK = (2/3)AE (voir propriété du centre de gravité)

3ème méthode :
a) EM :par Pythagore, sur le triangle rectangle ECM
et AM.: par Pythagore, sur le triangle rectangle ADM

b) en déduire que le triangle AEM est rectangle en E.
Pythagore, sur le triangle rectangle AEM


4ème méthode :
a) montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus.
utilise la définition du sinus = opposé/hypoténuse

sin(BAE) = opposé/hypoténuse = EB/AE = ...
sin(DBC) = opposé/hypoténuse = CD/BD = ...

 

Voila bonne journée