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2013-03-19T22:50:05+01:00

je ne peux rien te tracer:

 

2: a) g(2) est l'aire entre l'axe des abscisses et la fonction f entre x=0 et x=2.

 

b) compte tenue du tableau,  de 0 à 2 f(x) est positif donc 0≤g(2),

 

sur [0;2] la fonction est croissante le maximum est 1+e^{-2}

donc g(2)≤2×(1+e^{-2})≈2.27  donc a fortiori g(2)≤2.5

 donc 0≤g(2)≤2.5

 

3;a) pour tout x dans [2;+∞[ f est décroissante  quand x tend vers +∞   f(x) tend vers 1 en tout cas c'est ce que je crois lire , car la main en plein sur le chiffre gène pas mal^^, si ce n'est pas ça tu n'auras qu'à me le dire par mp.

 

bon supposons que ce soit 1.  la fonction a pour minimum 1,

 

 donc \int\limits^x_2 f{x} \, dx≥1×(x-2) pour tout x≥2

 

soit x compris entre 0 et 2 , f est au dessus de l'axe des abscisses sur cette intervalle donc g(x)≥0          et x-2≤0     donc sur [0;2] g(x)≥x-2  et comme sur [2;+∞[ :

 

\int\limits^x_2 f{x} \, dx≥x-2 et g(x)≥\int\limits^x_2 f{x} \, dx

 

car sur cette intervale:

g(x)=\int\limits^2_0 f{x} \, dx+\int\limits^x_2 f{x} \, dx

 

on en déduit donc que g(x)≥x-2 pour tout x.

 

b)

\lim_{x \to \infty} x-2=+\infty   par comparaison de limite on en déduit donc:

 

\lim_{x \to \infty} g(x)=+\infty

4)pour tout a et b tel que a<b sur [0;+∞][\int\limits^a_0 f{x} \, dx\leq\int\limits^b_0 f{x} \, dx donc g est croissante

sur [-∞;0] f est  croissante donc g est décroissante

car pour tout a et b tel a<b \int\limits^a_0 f{x} \, dx\geq\int\limits^b_0 f{x} \, dx

 

partie B)  soit F(x) une primitive de f(x), F(x)=-xe^{-x}+x  normalement il faut rédiger un peu plus pour la primitive:

 

alors g(x) = F(x)-F(0)   donc g(x)=-xe^{-x}+x  - 0 donc g(x)=x(1-e^{-x})

2) quand x tend vers -∞  e^(-x) tend vers +∞  donc -e^(-x)  tend vers -∞ et 1- e^(-x) tend vers -∞

 

donc \lim_{x \to -\infty} x(1-[tex]e^{-x})=+\infty

 

112: j'ai moins écris en tex parceque c'est très long et j'ai été moins rigoureux dans les explications (donc pense à justifier proprement)

 

1:xe^{-x^{2}}=\frac{x^{2}}{xe^{x^{2}}} or posons X=x² quand x tend vers +∞ X tend vers +∞  or tu as démontré dans ton cours que

 

\lim_{X \to \infty} \frac{X}{e^X}=0  donc par composition de fonction

 

\lim_{X \to \infty} \frac{x^2}{e^{x^2}}=0 donc

 

\lim_{X \to \infty} \frac{\frac{x^2}{e^{x^2}}}{x}=0

 

donc

 

\lim_{x \to \infty} f(x)=0

 

2: f'(x)=e^{-x^{2}}(1-2x^2)      le signe est celui de 1-2x² car la fonction exponentielle est positif, 1-2x² est une fonction du second degré qui se factorise

 

-2(x-√8/4)(x+√8/4) tu fais le tableau de variation tu te rend compte que le maximum est √8/4 soit 2√2/4 donc √2/2

F(a)=\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx

une primitive de f(x) est par exemple P(x)=\frac{-e^{-x^2}}{2}

f est toujours positif (à justifier)

donc F(a)=\frac{-e^{-a^2}}{2}-\frac{-e^{-a^0}}{2}\frac{-e^{-a^2}}{2}+\frac{1}{2}

 

quand x tend vers +∞, -x² tend vers -∞ donc e^(-x^2) tend vers 0 donc

 

\lim_{x \to \infty} F(a)=\frac{1}{2}

 

partie B

1) f est décroissante à partir de √2/2 a fortiori à partir de 1.  donc

f(n)×(n+1-n)≥Un≥ f(n+1)×(n+1-n)

donc

f(n)≥Un≥ f(n+1)    

 

2) pour tout n≥1 f(n+1)≤Un≤f(n), et f(n+2)≤Un+1≤f(n+1)≤Un   donc Un+1 ≤ Un pour tout n≥1 donc la suite U est décroissante.

 

3) \lim_{n \to \infty} f(n)=\lim_{n \to \infty}f(n+1)=0

 

d'après le théorème des gendarmes on a donc \lim_{n \to \infty} Un=0