Réponses

2013-03-17T14:11:38+01:00

1) tu as plusieurs façons pour démontrer qu'une fonction est concave sur une intervalle I. J'imagine que tu les as dans ton cours; la méthode qui sera la plus simple est de dériver deux fois la fonction:

en effet f(x) est concave sur I si f''(x)≤0, c'est à dire si f'(x) est décroissant.

 

or f'(x)=\frac{6}{x}-\frac{e^x}{8} addition de deux fonctions décroissantes donc la fonction est décroissante: sinon

 

f''(x)=\frac{-6}{x^2}-\frac{e^x}{8}      or \frac{-6}{x^2}    est strictement négatif de même que -\frac{e^x}{8}  donc f''(x)≤0.  et ce Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;+∞[

 

donc f(x) est concave sur ]0;+∞[

2)

f'(x)=\frac{6}{x}-\frac{e^x}{8} =\frac{48-xe^x}{8x} or 48-xe^x est décroissant sur ]0;+∞[   car  xe^x est croissant sur cette intervalle. 

 

les ≥ sont en fait > simplement, je ne connais pas le moyen d'écrire juste > en mode tex

 

Et 48-2e^2\geq 0 donc sur ]0;2] a fortiori sur [1;2] on a 48-xe^x\geq 0  et comme 8x>0 pour tout x dans ]0;+∞[  alors f'(x)≥0 pour tout x de [1;2] donc f est croissante sur cette intervalle.

 

3) ta fonction est croissante sur [1;2]  mais surtout elle est concave sur ]0;+∞[. Or le 3ème graphe montre une fonction convexe et non concave car si tu trace une droite entre deux points de f tu remarques que pour tout x entre les abscisses de ces deux points f est situé en dessous de cette droite.

de même pour le deuxième graphe mais seulement au début (f est convexe sur l'intervalle [1;α] où α ∈ ]1;2]

 

le graphique correcte est donc le premier.