Bonjour a tous. C est le cercle trigonométrique associé a un repère orthonormé direct (O,I,J) du plan. M est le point de C tel que (OI,OM)= Pi/6

1)Calculer la distance IM

2)a)Demontrer que IM = 2*sin(pi/12)

b)en deduire la valeur exact de sin(pi/12)

c)determiner la valeur exacte de cos(pi/12)

3)determiner cos(5pi/12) et sin (5pi/12)

4)determiner les solutions de sin(x)=(racine(2-rac(3))/2 sur [0;2pi]

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Réponses

2013-03-15T23:50:33+01:00

tu es dans un plan orthonormé, grâce à l'angle et ainsi par projection du point M sur les axes abscisses et ordonnées, M a pour coordonnée

(cos(π/6);sin(π/6))    Et I a pour cordonnée (1;0)

 

donc IM a pour coordonnée (cos(π/6)-1;sin(π/6))  

d'où IM= \sqrt{sin^2(\frac{\pi}{6})+(cos(\frac{\pi}{6})-1)^2}

IM= \sqrt{\frac{1}{4}+cos^2(\frac{\pi}{6}) -2cos(\frac{\pi}{6})+1}

IM= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4} -\sqrt{3}+1}

donc IM=\sqrt{2-\sqrt{3}}

 

2)a)  (OI,OM)= Pi/6=2π/12     d'où  M de coordonnées (cos(2π/12);sin(2π/12))

 

d'où IM= \sqrt{sin^2(\frac{2\pi}{12})+(cos(\frac{2\pi}{12})-1)^2}

 

IM= \sqrt{sin^2(\frac{2\pi}{12})+cos^2(\frac{2\pi}{12}) -2cos(\frac{2\pi}{12})+1}

 

IM=\sqrt{1-2cos(\frac{2\pi}{12})+1}

 

IM=\sqrt{2-2(1-2sin^2(\frac{\pi}{12}))}

 

IM= \sqrt{4sin^2(\frac{\pi}{12})}

 

IM=2sin(π/12)

 

b)  donc 2sin(π/12)=\sqrt{2-\sqrt{3}}

 

sin(π/12)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}

 

je te donne les indications seulement pour les questions suivantes

 

c) sin²(x)=1-cos²(x)

 

3) cos(5π/12)=cos(π/2-π/12)=sin(π/12)

 

sin(5π/12)=sin(π/2-π/12)=cos(π/12)

 

 

4) solutions sont π/12, 11π/12     (car sin(x)=sin(π-x))