On considère un triangle ABC de longueurs de côtés a,b et c. On note A l'aire de ce triangle et P son périmètre. On note r le rayon de son cercle inscrit. 1) Démontrer que A= 1 sur 2 r (a+b+c). 2)Déduire que: r= 2x A sur P.

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Réponses

Meilleure réponse !
2012-06-17T13:19:04+02:00

bonjour

 

fais une figure pour visualiser.

soit O le centre du cercle inscrit.

trace les segments [OA], [OB], [OC]

 

l'aire du triangle ABC = aire du tr. AOC + aire du tr. BOC + aire du tr. AOB

 

considère le tr. AOB (je suppose que la coté [AB] mesure a)

aire = base * hauteur / 2 = a * r/2

en effet, la hauteur issue de O est égale à r.

 

de la même façon :

sur le tr. BOC (je suppose que la coté [BC] mesure b)

aire = base * hauteur / 2 = b * r/2

 

sur le tr. AOC (je suppose que la coté [AC] mesure c)

aire = base * hauteur / 2 = c * r/2

 

donc

aire ABC = A = r * (a+b+c) / 2 ---- réponse à la question 1

 

2)Déduire que: r= 2x A sur P.

 

on sait que le périmètre du tr. ABC = P = a+b+c

 

on en déduit que :

A = r * (a+b+c) / 2  <=>

A = r *  P / 2<=>

r = 2A/P