Bonsoir, je souhaiterais obtenir de l'aide concernant un exercice sur les dérivations. Merci d'avance. Voici l'exercice: Dans une usine de produits alimentaires, une machine fabriquant de la moutarde est utilisée 12 heures par jour, en continu. La fonction f, définie sur [0;10]par: f(t)= -t³+ 12t²+72t, représente la production totale de moutarde apres t heures de fonctionnement. La dérivée de f, f'(t), représente la production marginale de cytet machine apres t heures d'utilisation. 1°) a)Determiner f'(t). Déterminer la dérivée de la production marginale notée g(t). b) Etudier la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. En déduire le signe de la production marginale f'(t). c) A l'aide de la question précédente, justifier que la production totale est croissante sur [0;10]. d) Visualiser la courbe de la production totale à l'écran d'une calculatrice avec Y∈[0;1300].
2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion. a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production. b) Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t). c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-03-05T17:53:04+01:00

f(t)= -t³+ 12t²+72t

 donc f'(t)=-3t²+24t+72=-3(t²-8t-24)=-3(t-4+V40)(t-4-V40)

 

g(t)=-6t+24  décroit et s'annule en t0=4

donc f'(t) est croissante sur [0,4] et decroissante sur [4,12]

comme f'(0)=72>0 et f'(4)=120 et f'(12)=-72<0, la fonction f' est positive sur [0,4+V40]

donc f est croissante sur [0,10 puisque 4+V40>10

 

I est en (4,416) et f'(4) vaut 120

T c'est donc y=416+120*(x-4) soit y=120x-64 h(t)=120t-64

 

du coup f(t)-h(t) vaut -t^3+12t²-48t+64=-(t-4)^3

 

cette expression change de signe lorsque t traverse la valeur 4.