Bonjour, je suis en première S et j'ai un exercice qui me pose problème:
un train roule sur une voie représentée ci-contre par un arc de la parabole d'équation y=x^2 (les distances sont en km).
Une route est matérialisée par l'axe des abscisses.
une gare est située au point de contact entre la voie et la route, et une maison est située au bord de la route à un km de la gare. quand le train est en approche de la gare, ses phares éclairent directement la maison.
A quelle distance de la maison se trouve-t-il alors?

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Réponses

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2013-02-09T23:16:28+01:00

C'est un problème assez compliqué car il requiert des conaissances de plusieurs chapitres de première S, ainsi que certaines de classes inférieures.

 

Afin de trouver la solution, nous allons tout d'abord nous servir des tangentes. Si vous avez fait le chapitre sur les tangentes, vous saurez que toute tangente à la courbe d'équation y=x^2, sera une droite dont le coefficient directeur sera égal à 2a, autrement dit f'(a^2)=2a

On sait de plus que l'équation d'une tangente est égale à f'(a)(x-a)+f(a), on aura donc dans ce cas, sachant que : f'(a)=2a ; que f(a)=a^2, l'équation y = 2a(x-a)+a^2.

 

Nous savons que la maison se trouve à un kilomètre de la gare sur le long de la route ( le long de l'axe des abcisses ), et que la gare se trouve au point de coordonnées ( 0 ; 0 ). La maison se trouve donc soit au point de coordonnées ( -1 ; 0 ), soit au point ( 1 ; 0 ).

 

Il nous faut donc essayer notre équation y = 2a(x-a)+a^2 avec ces deux couples de coordonnées. 

 

Ainsi, pour le premier couple de coordonnées ( -1 ; 0 ), il nous faut résoudre l'équation : 

2a(-1-a)+a^2=0

-2a-a^2=0

-a^2-2a=0

 

Il faut alors calculer les solutions de cette équation, à l'aide du chapitre du second degré.

 

Ainsi : 

\Delta =b^2-4ac

\Delta = 4-4(-1\times0)

\Delta=4

 

On a alors :

{ x }_{ 1 }=((-b-\sqrt{\Delta})/2a)

=0

 

et { x }_{ 2 }=((-b+\sqrt{\Delta})/2a)

=-2

 

On sait que le train ne peut pas se trouver au point d'abcisse 0 car il n'est pas encore à la gare, il se trouve donc, dans le cas où la maison se trouve au point de coordonnées ( -1 ; 0 ), au point d'abcisse -2.

Pour le reste du problème, il nous faudra utiliser Pythagore. Nous nommerons les différents points de coordonnées ( -1 ; 0 ) = A ; ( -2 ; 0 ) = B et ( -2 ; 4 ) = C. A et B se trouvant sur l'axe des abcisses, et le point C se trouvant sur la courbe d'équation y=x^2.

Ainsi, AB = 1 ; BC = 4 et, grâce à Pythagore, nous savons que AB^2+BC^2=AC^2 ; donc que BC = \sqrt{AB^2+BC^2}

= \sqrt{1+16}

= \sqrt{17}

Ce qui est environ égal à 4,123 km.

 

Ainsi, pour le second couple de coordonnées ( 1 ; 0 ), il nous faut résoudre l'équation : 

2a(1-a)+a^2=0

2a-a^2=0

-a^2+2a=0

 

Il faut alors calculer les solutions de cette équation, à l'aide du chapitre du second degré.

 

Ainsi : 

\Delta =b^2-4ac

\Delta = 4-4(-1\times0)

\Delta=4

 

On a alors :

{ x }_{ 1 }=((-b-\sqrt{\Delta})/2a)

=0

 

et { x }_{ 2 }=((-b+\sqrt{\Delta})/2a)

=2

 

On sait que le train ne peut pas se trouver au point d'abcisse 0 car il n'est pas encore à la gare, il se trouve donc, dans le cas où la maison se trouve au point de coordonnées ( 1 ; 0 ), au point d'abcisse 2.

Pour le reste du problème, il nous faudra utiliser Pythagore. Nous nommerons les différents points de coordonnées ( 1 ; 0 ) = A ; ( 2 ; 0 ) = B et ( 2 ; 4 ) = C. A et B se trouvant sur l'axe des abcisses, et le point C se trouvant sur la courbe d'équation y=x^2.

Ainsi, AB = 1 ; BC = 4 et, grâce à Pythagore, nous savons que AB^2+BC^2=AC^2 ; donc que BC = \sqrt{AB^2+BC^2}

= \sqrt{1+16}

= \sqrt{17}

Ce qui est environ égal à 4,123 km.

 

Conclusion :   Que la maison se trouve au point de coordonnées ( -1 ; 0 ) ou au point de coordonnées ( 1 ; 0 ), on trouve que le train se situe à la même distance de l'habitation. Le train se situe donc à \sqrt{17} km de la maison lorsqu'il l'éclaire avec ses phares, ce qui est environ égal ) 4,123 km.  

 

En éspérant t'avoir aidé dans ton problème !!! :)