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2012-05-21T19:11:25+02:00

Si j'ai bien compris, tu parles bien des classes d'équivalences de Z/pZ, avec p premier..

Pour plus de compréhension , je vais noter "x|" dans Z/pZ la classe d'équivalence de x.

(Attention : souvent par abus de notation, on dit que Z/pZ = {0, 1, ... ,p-1} mais cela reste un abus de notation, il y a la derière une classe d'équivalence définie par xRy <=> x-y  est divisible par p, donc par exemple 8 "="1 car 8-1 est divisible par 7. Cela compris, la conclusion reste évidemment la même :-) )

 

Donc, il suffit de remarquer (pour p = 5) que pour k=1, 0| est envoyé sur 0| (on parles ici d'addition, vu qu'on est dans Z), 1| sur 2|, 2| sur 4|, 3| sur 1| et 4| sur 2| . (autrement dit, avec l'abus de notation, 0+0=0, 1+1=2,2+2=4 , 3+3"=" 1 et 4+4 "=" 2.

Donc, la somme vaudra, pour tout k,4+3+2+1 = 10.

Plus généralement pour p premier, la somme vaudra toujours 1+2+...+p-1=p*(p-1)/2 =(p²-p)/2