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2013-01-31T08:44:49+01:00

1)

U1=1/2

U2 = (1/3) + (1/4) = 7/12

U3 = (1/4) + (1/5) + (1/6) = 37/60

U4 = (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) = 533/840

 

 2)

Un-1 - Un = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

       - 1/(n+1) - 1/(n+2) - 1/(n+3) - ...- 1/2n

Par soutraction terme à terme :

Un-1 - Un = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)

Un-1 - Un = 1/(2n+1) + 1/2(n+1) - 1/(n+1)

Un-1 - Un = 1/(2n+1) - 1/2(n+1)

Un-1 - Un = [2(n+1) - (2n+1)] / [2(n+1)(2n+1)]

Un-1 - Un = [2n+2 - 2n-1] / [2(n+1)(2n+1)]

Un-1 - Un = 1 / [2(n+1)(2n+1)]


Comme n>0, Un+1 - Un > 0

Donc Un<Un+1 => (Un) est croissante sur N*

 

3) a)

f'(x)= 1/x - 1

f'(x)=0 <=> 1/x - 1 = 0

            <=> 1 = x

f'(x)>0 <=> x<1 et f'(x)<0 <=> x>1

Donx f est strictement croissante sur ]0,1[ et strictement décroissante sur ]1,+inf[

 

f atteint son maximum en 1.

f(1)=ln(1) - (1-1) = 0

Donc pour tout x>0, f(x) ≤ 0

donc pour tout x>0, lnx ≤ x-1

 

3) b)

Changement de varaible X = 1/x

pour tout x>0, lnx ≤ x-1

Donc ln(1/X) ≤ (1/X)-1

Or ln(1/X)=-ln(X)

Donc -ln(X) ≤ (1/X)-1

1 - (1/X)  ≤ ln(X)