Bonjour , je suis en seconde et mon prof de maths nous a donné ce devoir à faire mais je ne comprend rien du tout , pouvez vous m'aider svp !

Soit f la fonction définie sur [0;10] par f= x(10-x)

1) Démontrer que f(x)= 25-(x-5)^2

2) Monter que f est croissante sur [0;5] et décroissante sur [5;10]

3) dresser son tableau de variation

4) En déduire que f admet un maximum sur [0;10]. Quel est la valeur de ce maximum et por quelle valeur de la variable est-il atteint ?

5) Soit L la longueur d'un rectangle de périmètre égal à 20 cm. Calculer l'aire de ce rectangle en fonction de L.

6) Parmi tous les rectangle de périmètre 20cm, en existe-il un dont l'aire est maximale ? Quelle est sa particularité et quelle est son aire ?

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Réponses

2012-05-17T16:41:23+02:00

1. Tu développes, tu as :

25-(x-5)² = 25-x²+10x-25 = 10x-x² = x(10-x)

D'où l'égalité.

 

2. Soit (a,b)∈[0,5]² tel que a<b, tu as :

f(b)-f(a) = 25-(b-5)²-25+(a-5)² = (a-5)²-(b-5)²

 Or, a<b<5 donc a-5 < b-5 < 0 et (a-5)² > (b-5)²

D'où f(b)-f(a) > 0 Donc f est croissante sur [0;5].

 

Soit (a,b)∈[5;10]² tel que a<b, tu as :

f(b)-f(a) = 25-(b-5)²-25+(a-5)² = (a-5)²-(b-5)²

Or, 5<a<b donc 0<a-5 < b-5 et (a-5)² < (b-5)²

D'où f(b)-f(a) < 0 Donc f est décroissante sur [5;10].

 

3. Tu fait un tableau à 2 lignes et 3 colonnes :

 x   | 0                                   5                                       10

f(x)| 0 (flèche vers le haut )   25  (flèche vers le bas)       0

 

4. f est continue sur [0;10], on remarque qu'elle atteint un maximum en x = 5

Et cette valeur est f(5) = 25

 

5) Le l'aire P d'un rectangle est égal au produit de sa largeur l et de sa longueur L.

On a :

2L+2l = 20 Donc l + L = 10 et l = 10-L

Et son aire A est alors égal à :

A = L(10-L)

 

6) On a clairement L ≥ 0 car c'est une longueur et L ≤ 10 car 10-L = l ≥ 0 car c'est une longueur.

Donc L∈[0;10].

Or, sur [0,10] on a vu que f(x) = x(10-x) est maximum pour x=5 et f(5) = 25.

Donc l'aire est maximum pour L = 5 cm et donc A = 25 cm²

Ainsi,

le rectangle de périmètre 20cm a une aire maximale pour une longueur L = 5cm.

Il s'agit d'un carré, puisque sa largeur l = 10-L = 10-5 = 5 cm = L .

Son aire est alors de A = 5*5 = 25 cm²

 

FIN