Enoncé : L'entreprise chinoise Shishi produit du tissu en coton qu'elle conditionne en "roules" de 2000m de long et de 1.5m de large. Elle peut fabriquer au maximum 10km en continu.
Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur x, en km par la formule : C(x)= 15^3-120x²+500x + 750 où x appartient [0;10]

1) On suppose que le prix du marché est égal a 680 euros par km.

Soit la fonction B défini sur [0;10] par :

B(x)=680x-C(x)

Démontrer que pour tout réel x de [0;10]

B'(x)=-45^2+240x+180

c) étudier les variations de la fonction B sur [0;10]. En déduire la quantité produite et vendue pour laquelle le bénéfice réalisé par l'entreprise Shishi est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

Partie B : Etude du cout marginal

Le cout marginal cm peut etre assimilé a la derivée du cout total. Ainsi sur [0;10], cm(x)=C'(x)

1) Calculer cm(x) et etudier les variations de Cm sur l'intervalle [0;10].

2) En déduire que le cout marginal Cm admet un minimum au point d'inflexion de la courbe de cout total C.

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Réponses

2014-09-05T16:21:00+02:00
1) B(x) = 680x - C(x)
B(x) = 680x - (45 x^{3} - 120 x^{2}  + 500x + 750)
B(x) = 680x - 45 x^{3} + 120 x^{2}  - 500x - 750
B(x) = - 45 x^{3} + 120 x^{2}  - 180x - 750

La dérivée de B donne donc :
B'(x) = -15 \times 3x^{2}  + 120\times 2x + 180

2) Sens de variation

La courbe (cf pièce jointe) est une parabole tournée vers le bas. 
Il faut d'abord trouver les solutions de B
Discriminant : Δ = 240² + 4 x 45 x 180 = 90000 = 300²
B admet donc 2 racines dans R : 

(-240+300) / -90= -2/3
et (-240-300)/-90 = 6
Puisqu'on se situe dans l'intervalle [0;10], on exclut -2/3 du tableau de variation

x    0                              6                        10
B'                  +                            -
B     -750   croît          1410  décroît    -540

maxi en x=6 valeur du bénéfice = 1410

Partie B 
1) Cm(x)=C'(x)
Cm(x)=45x²-240x+500
C'est une parabole "tournée vers le haut" de discriminant  négatif donc toujours >0 

2) Elle est minimale en 240/90, valeur qui annule C"(x)=-90x+240 donc c'est le point d'inflexion de C.