On considère la fonction f définie sur R par: f(x)= -x²+6x+7

1. Montrer que, pour tout réel, f(x) = (7-x)(x+1) et f(x) = 16 - (x-3)²

2.Choisir la forme d'écriture la mieux adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes:

a) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des ordonnées:

b) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses:

c) déterminer tes coordonnées du sommet S de la parabole représentative de f: d) déterminer les variations de la fonction f:

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Réponses

Meilleure réponse !
2012-04-14T12:05:57+02:00

1) vérifier que les 3 écritures sont les mêmes:

(7-x)*(x+1)=7x+7-x²-x=-x²+6x+7 (ok)

de même,

(x-3)²= x²-6x+9

si je fais 16 - ce que je viens de calculer, j'obtiens:

16- ( x²-6x+9 )= -x²+6x+7. (ok aussi)

 

2)pour  l'intersection avec l'axe des ordonnées, c'est à dire l'axe x=0, on prend la 3 eme forme (car il n'y a qu'un seul endroit ou on a du 'x' et on le remplace par 0)

a) y=16-( 0-3)²=16-9=7 on croise l'axe Oy en (0,7)

b) on prend la forme 2, et on veut maintenant que f(x)=y soit égal à 0, on a donc comme équation 0=(7-x)(x+1) Or cette égalité est vérifiée pour x=7 et x=-1, car dans chacun des cas, l'une des paranthèse devient nulle et 'absorbe' l'autre.

c) Le sommet est donné quand la dérivée s'annule (pour une parabole):

la dérivée est donnée par f ' (x)= -2x+6

si on veut qu'elle s'annule : -2x+6=0 <=> -2x=-6 <=>x=3

d) La parabole monte  jusqu'a ce que x vaille 3, puis elle décroit, elle est toujours tournée vers le bas. (on montre cela en disant que la dérivée seconde est toujours négative ( f ' ' (x)= -2, pour tout x )

 

Voila