Bonjour j'ai un DM de math à faire pour lundi et j'ai du mal à comprendre mon exercice, si quelqu'un pouvais m'aider, merci.

Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots.

Le coût de fabrication, en euros, d'un nombre x de lots, est donné, pour 0< ou égale x < ou égale 15 par :

C(x) = 4x(puissance 3) - 96x² + 576x + 100

On se ropose de déterminer le nombre de lots à fabriquer pour obtenir le coût minimal.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;15] par :

F(x) = 4x(puissance 3) - 96x² + 576x +100

1) calculer f '(x), où f ' désigne la dérivée de la fonction f

2) Dresser le tableau de variation de la fonction f

3) Quels est le nombre de lots à fabriquer pour obtenir un coût minimal

4) Donner la valeur de ce coût minimal.

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Réponses

2012-05-12T16:25:31+02:00

1) Soit x dans [0 ; 15].

f est dérivable sur [0 ; 15] et on a :

f'(x) = 12x² - 192x +576.

 

2) On factorise f'(x) par 12. Et on a f'(x) = 12(x²-16x+48)

On a Delta = 256 - 192 = 64

Les racines de f'(x) sont alors :

x = (16+8)/2 = 12

x = (16-8)/2 = 4

Donc f'(x) = 12(x-12)(x-4)

f'(x) est donc positive sur [0 ; 4] U [12 ; 15] et négative sur [4 ; 12].

f est donc croissante sur  [0 ; 4] U [12 ; 15] et décroissante sur [4 ; 12].

 

3) On a min f(x) = min ( f(0) ; f(12) )

Or, f(0) = 100 et f(12) = 100

Le nombre de lots à fabriquer pour un cout minimal est donc de 12.

 

4) Et f(12) = 100 euros.

 

FIN