Bonjour j'ai beaucoup de mal avec cet exercice que j'ai à faire, j'ai vraiment besoin d'aide, je remercie d'avance toute les personnes qui me viendront en aide :)

Soit a un nombre réel appartenant à l'intervalle ]1; 3[. Soit (Un) définie par U0=a et pour tout n appartenant à |N , U[n+1]= 4-(3/Un).

Questions:
1) Démontrer par récurrence que 1 < Un < 3. ( Je l'ai fais )
2) Démontrer que U[n+1]-Un= [(3-Un)(Un-1)]/Un ( Je suis bloqué là )
3) En déduire que Un est croissante.
4) Démontrer que Un est convergente et déterminer sa limite.

1
Pour la deuxième question j'ai voulu développer l'expression donnée dans la question et dire que c'est bien égal à ( 4Un-3-Un^2)/Un mais ce n'est pas correcte parce qu'on nous demande de démontrer. .
mais c'est ca demontrer
D'accord merci beaucoup, et concernant la troisième question, j'ai utilisé l'expression donnée à la question n°2 mais ça ne marche pas vraiment ..

Réponses

Meilleure réponse !
2014-10-27T13:47:15+01:00
Salut;

1) Tu l'as faites ;)
2)calculons U(n+1)-Un:
U(n+1)-Un=4-(3/Un)-Un
                =(4Un-3)/Un - Un
                =(-Un²+4Un-3)/Un
On développe (Un-1)(3-Un)/Un:
(Un-1)(3-Un)/Un= (-Un²+4Un-3 ) / Un
On remarque alors que U(n+1)-Un= (-Un²+4Un-3)/Un= (Un-1)(3-Un))/Un.
3) D'après la question 1; on sait que  1 < Un<3.
Donc, 1-1 < Un-1< 3-1 <=> 0< Un-1 <2   donc Un-1 ≥ 0.
Donc, -1 > -Un > -3
         -1+3 >-Un +3 > -3+3
         2 > -Un+3 >0                                  donc -Un+3 ≥0
Donc, (Un+1)(3-Un)≥0 de plus Un > 0
Donc (Un+1)(3-Un)/ Un ≥0.
4. On sait que (Un) est croissante et majorée par 3 (elle est même bornée), donc (Un) converge vers un réel fini l.
Déterminons la limite de (Un):
 \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{u_n}  =0
 \lim_{n \to \infty}  \frac{-3}{u_n} =0
 \lim_{n \to \infty} 4- \frac{3}{u_n} =4
 \lim_{n \to \infty} u_n =4

Cordialement.