Réponses

2014-10-23T13:03:45+02:00
Bonjour,
exercice 2
U(n+1)=√(3Un-2)
avec U0 appartient ]1+inf[
1)
Non: il suffit de donner un contre exemple, si U0=3 alors U1=√(7)
2)
Oui
initialisation
1<U0
hérédité
si 1<Un alors 3<3Un, alors 3-2<3Un-2
donc 1<3Un-2
donc 1<√(3Un-2)
donc 1<U(n+1)
donc Un est minorée par 1
2)
non
Pour le prouver on va montrer que si U0 appartient à ]1,2[ alors la suite est croissante: comme elle est minorée par 1, elle ne peut pas converger vers 1
on va d'abord montrer que si U0 appartient à ]1,2[ alors Un appartient à ]1,2[
initialisation U0 appartient à ]1,2[
hérédité
supposons 1<Un<2
alors 3<3*Un<6
donc 1<3Un-2<4
donc √(1)<√(3Un-2)<√(4)
donc 1<U(n+1<2
donc Un appartient à ]1,2[
Maintenant on va étudier le signe de U(n+1)-Un pour x appartient à ]1,2[.
et donc étudier signe de √(3x-2) -x  pour x appartient à ]1,2[.
√(3x-2) -x = (√(3x-2) -x)(√(3x-2) +x )/(√(3x-2) +x )
=(3x-2-x²)/(√(3x-2) +x )
le dénominateur est clairement positif
donc l'expression est du signe de 3x-2-x²
les racines sont 1 et 2, le coef de x² est négatif, donc 3x-2-x² est positif pour x compris entre 1 et 2
donc la suite est croissante pour U0 appartient à ]1,2[.
Comme elle est croissante est minorée par 1 elle ne peut pas converger vers 1.

4)
Oui
On a vu plus haut que si U0 appartient à ]1,2[ alors 1<Un<2, et que Un est croissante. Elle est donc croissante et majorée donc elle admet une limite finie qui (d'après le th de l'unicité de la limite) est telle que L=√(3L-2)
ça donne L²-3L+2=0
racine 1 et 2. On a vu qu'elle ne pouvait pas converger vers1, donc elle converge vers 2.

5)
On va montrer que si U0 supérieur à 2 alors Un>2
U0>2
hérédité
Un>2
alors 3Un-2>4
donc U(n+1)>2
CQFD
On va montrer que si U0>2 alors Un est décroissante
C'est immédiat en étudiant le signe de √(3x-2) -x pour x>2 comme on l'a fait plus haut pour x<2
On en déduit que pour U0>2 Un est décroissante.
Elle est décroissante et minorée donc elle admet une limite finie qui est telle que L=f(L)
On reprend la démonstration de la question précédente et on en déduit qu'alors Un converge vers 2