Exercice : - Tracer un triangle isocèle EFG en E tel que EF = EG = 6 cm et FG = 4 cm. Le cercle de diamètre [ EG ] coupe [ FG ] en K.

a) Démontrer que EKG est un triangle rectangle.

b) Démontrer que K est le milieu de [ FG ]

c) Calculer la valeur de EK arrondie à 0,1 cm près.

d) Placer le point S tel que KESG est un parallélogramme. Démontrer que ESGK est un rectangle.

e) On place un point P sur le segment [EG ] . La droite parallèle à (FG) en un point R. On pose EP = x.

(1) Démontrer que EP = ER, en déduire que PG = RF.

(2) Déterminer x pour que le périmètre du triangle ERP soit égal au périmètre

du trapèze RPGF. merci de me répondre vite :s

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Réponses

2012-05-10T19:45:15+02:00

a) Le triangle EKG est inscrit dans le cercle de diamètre un des côtés de ce triangle.

Donc EKG est un triangle rectangle en K et son hypothènuse est ce côté [EG].

 

b) K est également le pied de la hauteur issue de E du triangle isocèle EFG en E.

Il coupe donc le segment [FG] en son milieu.

 

c) Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle EKG rectangle en K.

On a alors : EG² = EK² + KG²

Donc EK² = EG²-KG²

En remplacant par les valeurs numériques, on obtient :

EK² = 6²-2²=36-4=32

Donc EK=V32=4V2=5.7cm à 0.1cm près car EK est une distance donc EK > ou = à 0.

 

d) Le parallélogramme ESGK est un rectanle car l'angle GKE ( avec un chapeau au dessus) est droit.

 

e) Il manque des choses dans l'énoncé .. Mais je crois que la droite passant par P parallèle à (FG) coupe (EF) en R.

1) R appatient au segment [EF], P au segment [EG].

(FG) parallèle à (RP) D'après le théorème de Thalès, on a :

ER/EF=EP/EG

Or, EF = EG puisque le triangle EFG est isocèle.

Donc ER=EP

On a PG=EG-EP=EF-ER=RF

2) Soit P(x) le périmètre du triangle et T(x) celui du trapèze, on a :

P(x) = 2x+RP, or, D'après Thalès, on a RP/FG=x/EG

Donc RP=4x/6=(2/3)x

D'où P(x)=(8/3)x

On a également :

T(x)=(2/3)x+2*(6-x)+4=(2/3)x-(6/3)x+16

T(x)=(-4/3)x+16

On cherche x tel que :

T(x)=P(x), c'est à dire tel que :

(-4/3)x+16=(8/3)x

Donc 16 = 4x

Au final, x=4

 

FIN