Bonjour , Je suis en Terminale ES et j'aurais besoin d'aide sur la fonction exponentielle

f est la fonction définie sur R par :

f(x) = e^x - x

a) Déterminer la fonction dérivée de f

b) Montrer que f admet un minimum

c) En déduire que pour tout nombre réel x , e^x > x

Merci d'avance ! :)

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Réponses

2012-12-14T18:11:17+01:00

dérive et étudie la concavité

 

si la dérivé 1ere est positive alors la fonction est croissante (étude du signe de la f ')

 

puis il faut étudier la concavité le signe de la dérivé seconde dépend si en fonction de la croissance de la dérivée première

 

là je pense qu'il faudrait tracer ta fonction f voir ou elle est positive pour voir la concvité de ta fonction. 

 

si f est positive alors f '' est positive et f' est croissant 

 

si tu dérive donc

 

tu as f '(x)= e^x -1

 

f ' (x) doit etre égal à 0 pour trouver un max ou un min

=ln e^x -ln1=0

ln et e s'annule

 

x= ln 1  tu as ici un point à tangente honrizontale max ou min

 

x=0

 

lorsque x > 0 fonction croissante 

x<0 fonction est décroissante

 

ensuite 

 

f(x) = e^x-x=0  par propriété de l'exponentielle e^x=0  à une lim en 0 à -l'infini :)

il est impossible que celà soit égal à 0 

Or la fonction est possitive pour tout x appartenant à R à l'aide du graphe c'est facile à voir

donc on en conclue que e^x> x 

 

ensuite tu sais que f est toujours positive donc sa dérivé(f') est toujours croissante 

 

pour savoir que c'est un minimum , il faut tracer la fonction en quelque point