ABCD est un rectangle tel que AB= 4cm et AD= 8 cm.
E est un point du segment [AB]
On place le pont G sur le segment [CD] tel que CG= 2AE
On place le point F sur le segment [BC] tel que BF=2*AE
On place le point H sur le segment [DA] tel que le quadrilatère EFGH soit un parallélogramme.
On note A1 l'aire du rectangle ABCD et A2 l'aire du parallélogramme EFGH.
Quelles sont le positions possibles du point E pour que l'aire du parallélogramme soit minimale?
Quelles sont les positions possibles du point E pour que A2= 2/3 A1

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Il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé au niveau des mesures du rectangle?
non! helas! j'ai vérifié! merci
zut! je viens de voir l'erreur
On place G sur le segment [CD] tel que CG=AE
Le reste est bon. URGENT

Réponses

2014-10-15T22:45:17+02:00
Soit AE=x
alors BF=2x
CG=x
DH=2x
A1, l'aire de ABCD=AB.BC=AB.AD=8x4=32cmcarré
A2=l'aire de EFGH=aire de ABCD-aireAEH-aireEBF-aireFGC-aireDHG
l'aire de AEH=l'aire de FGC=AE.AH/2=GC.FC/2=x(8-2x)/2=4x-xcarré
l'aire de EBF=l'aire de DHG=EB.BF/2=DH.DG/2=2x(4-x)/2=4x-xcarré
Donc A2=32-4(4x-xcarré)
=32-16x+4xcarré
DONC A2 est un trinôme du second degré
On sait qu'un trinôme a comme représentation graphique une parabole avec un sommet qui est le maximum ou le minimum atteint selon le sens de la parabole
Ici le coefficient de xcarré est 4 positif donc la parabole est en forme de U avec un sommet qui est donc un minimum .
Donc la valeur de x qui correspond à ce sommet est la valeur pour laquelle l'aire est minimale: elle est égale à 16/8=2
Pour x=2 A2=(4x4)-(16x2)+32=16-32+32=16cmcarré
J'ai trouvé 16/8=2 pour le sommet en utilisant le cours qui dit que pour un trinôme de type axcarré+bx+c , le sommet a pour abscisse -b/2a

Si x=2cm alors AE=2cm

Maintenant , on veut A2=2/3A1
DONC 4xcarré-16x+32=2/3.32
4xcarré-16x+32=64/3
4xcarré-16x+32/3=0
12xcarré-48x+32=0
3xcarré-12x+8=0
delta=144-96=48
je te laisse trouver les 2 solutions:)