J'ai moin de 100 pièces si je l'ai regroupe par 2 , il m'en reste une.
si je l'ai regroupe par 3 , il m'en reste 2. si je l'ai regroupe par 4 il m'en reste 3. Si je l'ai regroupe par 5 il m'en reste 4. combien aije de pièces ?

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Réponses

2014-10-13T03:38:05+02:00
Soit x ton nombre de pièces ;
Si tu LES (par pitié ... ;) ) regroupe (c'est à dire divise ...) par 2, il en reste une : donc c'est un nombre impair. Traduit en division euclidienne, ça donne x = 2 Q + 1
Si tu divise x par 3, il reste 2 : en division euclidienne, on a  x = 3 Q' + 2
Par 4 :  x = 4 Q'' + 3
par 5 : x = 5 Q''' + 4.

Donc x n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5, (ni par 6 = 2 x 3), (ni par 8 = 2 x 4).
J'ai procédé par essais successifs :
- Je suis partie des multiples de 5 auxquels j'ai ajouté 4, en décroissant puisque tout ce qu'on sait c'est que x < 100.
95 + 4 = 99 : non car est divisible par 3.
90 + 4 = 94 : pair.  Du coup on va prendre directement un multiple de 5 sur deux, car la moitié d'entre eux est paire et va donner un total pair avec 4, ça ne nous intéresse pas.
85 + 4 = 89  = 4 x 22 + 1, ça ne colle pas
75 + 4 = 79 = 4 x 19 + 3    Ah, intéressant ... mais 79 = 3 x 26 + 1  non
65 + 4 = 69 = 4 x 16 + 5  non
55 + 4 = 59 = 4 x 14 + 3 = 3 x 19 + 2 = 2 x 29 + 1  ->  ça marche !
Donc x = 59
Tu as 59 pièces (félicitations !  ;)  )

Je n'ai pas vérifié que c'était la seule réponse possible, mais la question posée ne laisse pas supposer qu'il y en ait plusieurs.