Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I, et telle que f '' (x)=1/x .
Soit g telle que g(x) = f(2x) + 2f(-x) pour tout x de I et g'(1)=0

Démontrer que la fonction g est constante sur I .

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Réponses

2014-10-02T17:07:19+02:00
On dérive g(x) :
g'(x)=2f'(2x)-2f'(-x)
On dérivé g'(x) :
g''(x)=4f''(2x)+2f''(-x)=4/2x-2/x=2/x-2/x=0
Donc g'(x) est une fonction constante
or g'(1)=0 donc g'(x)=0 donc g(x) est une fonction constante.