Bonjour, je suis bloqué a une question pouvez vous m'aidez svp ?
Voici l'énoncé :
On pose j=-1/2 + i(racine de 3/2)
1) calculer j^2, j^3,j^4,j^5 et j^6
2) conjecturer l'expression de Jan suivant les valeurs de l'entier naturel n puis démontrer cette conjecture. (On distinguera trois cas...)
3) vérifier que 1+j+j^2=0

merci d'avance pour votre aide

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Réponses

2014-10-01T09:57:26+02:00
1) j²=(-1/2+i√3/2)²=1/4-2*1/2*i√3/2-3/4=-1/2-i√3/2
j³=j*j²=(-1/2+i√3/2)(-1/2-i√3/2)=1/4+3/4=1
donc j^4=j³*j=j=-1/2+i√3/2
j^5=j³*j²=j²=-1/2-i√3/2
j^6=j³*j³=1

2) On peut conjecturer que
si n est de la forme n=3k+1 (avec k ∈ IN) j^n=j=-1/2+i√3/2
si n est de la forme n=3k+2 j^n=j²=-1/2-i√3/2
si n est de la forme n=3k+3 j^n=1

On sait que la conjecture est vraie pour k=0
Supposons qu'au rang k on ait :
j^(3k)=1
j^(3k+1)=j
j^(3k+2)=j²
alors j^(3(k+1))=j^(3k+3)=j^(3k)*j³=1*1=1
j^(3(k+1)+1)=j^(3k+1+3)=j^(3k+1)*j³=j*j³=j
j^(3(k+1)+2)=j^(3k+2+3)=j^(3k+2)*j³=j²*j³=j²

Donc quel que soit k ∈ IN
j^(3k+1)=j
j^(3k+2)=j²
j^(3k+3)=1

3) 1+j+j²=1-1/2+i√3/2-1/2-i√3/2=1-1=0