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2014-09-30T13:03:01+02:00
Format d'un rectangle =L/l
format d'un rectangle L=8 et l=5 est égale à 8/5 soit 1.6

format de ABCD est de x/1=x
format de BEFC est de EF/EB
AEFD carré donc BE=EF=FC=CB=1
EB=AB-AE=x-1
format de BEFC=EF/EB=1/(x-1)  

format de ABCD=format de BEFC⇔x=1/(x-1)⇔x(x-1)=1⇔x²-x-1=0
Δ=b²-4ac=1+4=5
√Δ=√5
x1=(-b-√Δ)/2a et x2=(-b+√Δ)/2a
x1=(1-√5)/2 et x2=(1+√5)/2
x1<0 donc pas possible (car 1<x<2)
x2≈1.62 donc 1<x2<2 donc compatible avec le problème 
donc Ф=(1+√5)/2 

Ф+1= (1+√5)/2+1=1/2+1+√5/2=(3+√5)/2
Ф²=((1+√5)/2)²=1/4(1+√5)²=1/4(1+2√5+5)=1/4(6+2√5)=(3+√5)/2
donc Ф+1=Ф²

Ф³=Ф²×Ф=((3+√5)/2)((1+√5)/2)=1/4((3+√5)(1+√5)=1/4(3+3√5+5+√5)
Ф³=1/4(8+4√5)=2+√5
2Ф+1=2×(1+√5)/2+1=2+√5
donc Ф³=2Ф+1

Ф^4=Ф²×Ф²=((3+√5)/2)²=1/4(3+√5)²=1/4(9+6√5+5)=1/2(7+3√5) 
3Ф+2=3((1+√5)/2)+2=(3+3√5)/2+2=(3+3√5)/2+4/2=1/2(7+3√5)
donc Ф^4=3Ф+2

(Ф-1)Ф=((1+√5)/2)(((1+√5)/2)-1)=((1+√5)/2)((-1+√5)/2)=1/4(5-1)=1

(Ф-1)Ф=1⇔(Ф-1)=1/Ф
donc Ф-1 représente l'inverse du format du rectangle donc Ф-1=l/L