Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un devoirs en maths. Il y a 2 exercices, les voicis :
Exercice 1
On note p un nombre entier impair supérieur ou égal à 3.

Partie A
1) explique pourquoi a= (p+1)/2 et b= (p-1)/2 Sont des entiers.

2) Démontrer que a^2-b^2 =p
3) on suppose que a=3. Trouver p puis b.
4) en utilisant ce qui précède, écrire 23 est une différence de deux carrés d'entiers.


Partie B
5) démontrer que a^2 + b^2 = (p^2 +1)/2
6) en déduire que 61 et la somme des carrés de deux entiers que l'on précisera.



Exercice 2:
Les légionnaires romains, sur le champ de bataille, se disposaient en carré pour une plus grande efficacité. La compagnie de brutus est telle que si elle avait comporté 63 hommes de plus, le carré zinzin formés aurait eu 3 ranges de plus.
De combien d'hommes la compagnie de Brutus est-elle constituer ?



Voilà les exos merci de m'aider :)

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Réponses

2014-09-29T21:39:44+02:00
A)1) Si p est impair, p est de la forme p=2k+1 avec k entier
donc a=(p+1)/2=(2k+2)/2=k+1 est un entier
et b=(p-1)/2=2k/2=k est un entier
 2) a²-b²=(p+1)²/4-(p-1)²/4=1/4*(p²+2p+1-p²+2p-1)=4p/4=p

3) a=3 donc (p+1)/2=3 soit p+1=6 et p=5
et b=(5-1)/2=3

4) si p=23=a²-b²
a=(23+1)/2=12 et b=(23-1)/2=11
Donc 23=12²-11²

5) a²+b²=1/4(p²+2p+1+p²-2p+1)=1/4*(2p²+2)=(p²+1)/2

6) On pose (p²+1)/2=61 soit p²+1=122 et p²=121
Donc p=11
donc a=6 et b=5 donc 6²+5²=61

Exercice 2 :
S'il y a x rangées, il y a x² légionnaires.
Avec 3 rangées de plus, il y a (x+3)² légionnaires
Donc x²+63=(x+3)²
Soit x²+6x+9=x²+63
Donc 6x=54 et x=9
Donc il y a 9²=81 hommes dans la compagnie de Brutus