Exo DM de maths seconde

ABCD est un rectangle tel que AB= 5 et BC=3
On construit le point E sur [AD] tel que AE=1
La parallèle à (AC) passant par E coupe (CD) en F
1) calculer DF et EF ( donner les valeurs exactes uniquement)
2) le triangle BEF est il rectangle ? Justifier.

Pouvez vous maidez svp

1

Réponses

2014-09-29T15:56:07+02:00
Bonjour Flo,

Question 1 :
On te parle de droites paralleles et on te demande de calculer des distances,
le theoreme a utiliser sera celui de Thales.
(AC) // (BF) donc, d apres le th. de Thales, dans le triangle ACD rectangle en D,
on a : DF / DC = DE / DA = EF / AC.
On cherche DF et EF :
DF = (DC * DE) / DA = (5 * 2) / 3 = 10/3.
EF =  (DE * AC) / DA, mais il manque AC.
D apres le th. de Pythagore, dans le triangle ABC rectangle en B,
on a : AC² = AB² + BC² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34, d ou AC = √34.
Par suite : EF = (2 * √34) / 3 = 2/3 √34.

Question 2 :
On utilise la reciproque du th. de Pythagore pour cette question.
Dans le trangle BEF, si BE² = BF² + EF²,
alors BEF est rectangle en F.
Verifions :
- Calcul de BE² :
Dans le triangle ABE rectangle en A, d apres le th. de Pythagore, on a :
BE² = AB² + AE² = 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
- Calcul de BF² :
Dans le triangle BCF rectangle en C, d apres le th. de Pythagore, on a :
BF² = FC² + BC² = (DC - DF)² + BC² = (5 - 10/3)² + 3² = (5/3)² + 9 = 25/9 + 9
BF² = 106/9.
- L egalite BE² = BF² + EF² est-elle vraie ?
Remplacons : 26 est-il egal a 106/9 + (2/3 √34)² ?
(2/3 √34)² = (2/3)² * (√34)² = 4/9 * 34 = 136/9.
106/9 + 136/9 = 242/9 ≈ 26,9.
Or 26 ≠ 26,9, donc le triangle BEF n est pas rectangle.

Voila, a bientot sur le site. ;-)