ABCD est un carré de côté 10cm
On place un point L sur [AB] puis le point P sur [AD] tel que DP=AL
On note x la longueur AL et A(x) l'aire de CPL en cm2
1)a) Exprimer en fonction de x les longueurs de BL , DP et AP
b) Calculer les aires de CPD , PAL et LBC en fonction de x
c) En déduire l'aire de A(x)
2) Ou doit-on placer L pour que l'aire de CPL soit égale a la moitie de l'aire du carre
3) Quel est l'ensemble de définition de A
4) Etudier les variations de A
5) En déduire ou l'on doit placer L pour que l'aire de CPL soit minimale
6) Faire un tableau avec x 1,2,3,4,5,6,7,8,9 et en bas A(x)
7) Construire la courbe représentative de A
8) Pour quelles valeurs de x l'aire de CPL est supérieur ou égale aux 2/5 de l'aire du carre v

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Réponses

2014-09-27T23:12:20+02:00
Bonsoir,
Je propose une solution en supposant que tu es en première.

1)a)
BL = 10-x
DP = x
AP = 10-x

b) Aire(CDP) = CD*DP/2 = 10x/2 = 5x (* signifie multiplié par)
Aire(PAL) = AL*AP/2 = x(10-x)/2 = (10x-x²)/2 = 5x-x²/2
Aire(LBC) = BC*BL/2 = 10(10-x)/2 = (100-10x)/2 = 50-5x

c) A(x) = Aire(ABCD) - (Aire(CDP)+Aire(PAL)+Aire(LBC))
A(x) = 10*10 - (5x+5x-x²/2+50-5x)
A(x) = 100 -(5x-x²/2+50)
A(x) = 100 - 5x + x²/2  - 50
A(x) = x²/2 -5x + 50
A(x) = (x² - 10x + 100)/2

2)
A(x) = Aire(ABCD)/2
(x² - 10x + 100)/2 = 100/2
(x² - 10x + 100) = 2*100/2
x² - 10x + 100 = 100
x² - 10x = 0
x(x-10) = 0
2 solutions x = 0 et x = 10
Pour que l'aire de CPL soit égale a la moitie de l'aire du carre il faut placer L en A (x=0 cm) ou en B (x = 10 cm)

3) Ensemble de définition de A(x) = [0;10]

4) Pour l'extrémum tu as deux cas soit un minimum quand le coefficient devant x² est positif, ce qui est le cas ici (0,5) ou un maximum quand le coefficient de x² est négatif.
L’abscisse du minimum, est -b/2a. Donc -(-5)/(2*1/2) = 5/1 = 5
Calculons A(5).
A(5) = x²/2-5x+50 = 5²/2-5*5+50= 37.5
Le minimum est donc le point (5;37.5)
Ton tableau doit commencer à 0 et finir à 10.
Voir fichier joint

5) L doit se trouver au milieu de [AB] donc à 5 cm du point A.

6) Tableau : second fichier joint

7) Courbe : 3ème fichier joint

8)A(x) = Aire(ABCD)*2/5
(x² - 10x + 100)/2 = 100*2/5
(x² - 10x + 100)/2 = 20*2
(x² - 10x + 100)/2 = 40
x² - 10x + 100 = 2*40
x² - 10x + 100 = 80
x² - 10x + 100 - 80 = 0
x² - 10x + 20 = 0

Calcul du discriminant (Delta) = b²-4ac = (-10)²-4*1*20 = 100-80 = 20
Delta > 0 donc l'équation admet 2 solutions :
x = -b-V(Delta)/2a       (V se lit racine de)
x = (10-V20)/(2*1) = (10-2v5)/2 = (5-V5) = environ 2,76
et
x' = -b+V(Delta)/2a
x' = (10+V20)/(2*1) = (10+2v5)/2 = (5+V5) = environ 7,24