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2014-09-24T22:11:08+02:00
1)L'aire du parallélogramme MNPQ est l'aire de ABCD diminué des aires des triangles AMQ, MBN, NCP et PDQ
x = 1

Aire ABCD = 3*5 = 15 cm ² (* signifie multiplié par)
Aire AMQ = Aire PCN = 1(5-1)/2 = 2 cm²
Aire MBN = Aire PDQ = 1(3-1)/2 = 1 cm²
donc
Aire MNPQ = 15 - 2(2+1) = 15-6 = 9 cm²

2) La longueur AB = 3 cm donc x appartien à [0;3[

3) L'aire du parallélogramme MNPQ est l'aire de ABCD diminué des aires des triangles AMQ, MBN, NCP et PDQ

Aire ABCD = 3*5 = 15 cm ²
Aire AMQ = Aire PCN = x(5-x)/2 = (5x-x²)/2
Aire MBN = Aire PDQ = x(3-x)/2 = (3x-x²)/2
donc
Aire MNPQ = 15 - 2(5x-x²+3x-x²)/2
Aire MNPQ = 15 - (5x-x²+3x-x²)
Aire MNPQ = 15 - 5x+x²-3x+x²
Aire MNPQ = 2x²-8x+15

4) s(x) = 9
2x²-8x+15 = 9
2x²-8x+6 = 0
2(x²-4x+3) = 0
Il existe une solution évidente x' = 1
or x'x" = c/a donc x" = 6/2 =3
L'ensemble de définition est [0;3[ donc 3 ne peut pas être solution
Donc il existe une valeur x=1  pour laquelle l'aire de MNPQ est 9 cm².
Donc oui nous pouvons placer M dans ce cas

S(x) = 6
2x²-8x+15 = 6
2x²-8x+9 = 0
Delta = b²-4ac = 64-4*2*9 = 64-72 = -8
Delta < 0 il n'y a pas de solution donc nous ne pouvons pas placer M pour que l'aire de MNPQ = 6 cm²

5) a) Forme canonique de S :
a(x+alpha) + S(alpha)
a=2
alpha = -b/2a = 8/(2*2) = 2
S(1) = 2(2)²-8*2+15 = 8-16+15 = 7

s(x) = 2(x-2)²+7
donc voir tableau de variation joint

b) L'aire minimale est 7 cm²

6) Aire MBCP = [(MB+CP)BC]/2
Aire MBCP = [(3-x+x)5]/2
Aire MBCP = 15/2 = 7,5 cm² donc constante

7) Aire MNPQ < Aire MBCP
2x²-8x+15 < 7,5
2x²-8x+15 - 7,5 < 0
2x²-8x+7,5 < 0
delta = b²-4ac = 64 - 4*2*7.5 = 64-60 = 4
Delta > 0
donc x' = (-b-V(Delta))/2a (V se lit racine)
x' = (8-2)/4 = 6/4 = 3/2 = 1,5

x" = (-b+V(Delta))/2a = (8+2)/4 = 10/4 = 5/2 = 2.5

2(x+1.5)(x+2.5) < 0
tableau de variation en fichier joint

Donc l'aire de MNPQ est inférieur à celle du trapèze MBCP pour x appartenant à ]1.5;2.5[