Une entreprise développe des jeux vidéo.
Pour une quantité x, exprimée en milliers de jeux, le coût total en milliers d'euros est de:
C(x)= 50x - 0,1xau carre + 10 avec x appartient [0;100]

La recette est alors de: R(x)= 48x
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total.

a. Exprimer le bénéfice en fonction de x
b. A partir de combien de jeux vidéo l'entreprise est-elle bénéficiaire?
c. Montrer que B(x) = 0,1(x-10)au carré -20
d. En déduire le déficit maximal de l'entreprise et le nombre de jeux vidéo à produire pour y parvenir.
e. En déduire le bénéfice maximal de l'entreprise.

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-09-23T08:48:46+02:00
A. B(x)=R(x)-C(x)
B(x)=48x-50x+0,1x²-10=0,1x²-2x-10

b. On doit résoudre B(x)>0
Soit 0,1x²-2x-10>0
⇔x²-20x-100>0
Pour x=24, B(24)=576-480-100=-4<0
Pour x=25, B(25)=625-500-100=25>0
L'entreprise est bénéficiaire à partir de 25 jeux vidéos.

c. B(x)=0,1x²-2x-10
B(x)=0,1(x²-20x-100)
B(x)=0,1(x²-20x+100-100-100)
B(x)=0,1((x-10)²-200)
B(x)=0,1(x-10)²-20

d. Comme 0,1(x-10)² est toujours positif, le déficit est -20 et il est atteint pour x=10

e. Sur [10;100], (x-10)² est croissant donc le bénéfice maximal est atteint pour x=100
B(100)=0,1*90²-20=0,1*8100-20=810-20=790