Bonjour, j'ai du mal sur un exercice, je suis complètement bloquée, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Voici le sujet :

f est la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par :
f(x) = -2x²+24x-40

P est sa courbe représentative dans un repère.
On note A et B les points d'intersection de la parabole P avec l'axe des abscisses et M un point de P dont l'abscisse a est comprise entre les abscisses de A et B.
On se propose de déterminer la position du point M sur P pour laquelle l'aire S(a) du triangle ABM est maximale.

1. Conjecture :
a) Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie; afficher l'aire du triangle ABM
b) Conjecturer la position du point M pour laquelle cette aire est maximale.

2. Preuve :
a) Démontrer que S(a)= 4f(a)
b) En déduire la valeur de a pour laquelle l'aire S(a) est maximale. Préciser alors la position du point M cherchée.
c) Calculer l'aire maximale du triangle ABM.
OÙ J'EN SUIS DANS MON DEVOIR
J'ai réalisé le 1 en entier, j'ai construit ma figure sur géogébra. J'ai trouvé que les coordonnées de M était de M(6;32) pour l'aire maximale (128)

Pour le 2, je reste bloquée à la question a). J'ai déterminer la longueur AB grâce aux coordonnées des points [ A(2;0) et B(10;0)]. Je ne sais pas si cela me sera utile.

J'ai trouvé que 4f(a) = -8a²+96a-160 mais je n'arrive pas a trouver S(a)...

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Réponses

2014-09-22T18:01:12+02:00
2.a) S(a) est l'aire du triangle ABM donc
S(a) = (Base*hauteur)/2
or Base = longueur AB = V((10-2)^2+(0)^2)) = 8 (V signifie racine de. C'est ce que tu as du trouver)
et hauteur = -2a² + 24a -40 = f(a)
donc
S(a) = (8 (-2a² + 24a -40))/2 = 8f(a)/2 = 4f(a)

b.S(a) est maxi lorsque 4f(a) est maxi
et 4f(a) est maxi lorsque f(a) est maxi
Pour trouver le maximum utilisons la forme canonique de f(a) :
f(a) = -2a² + 24a -40
f(a) = -2(x²-12x+20)
f(a) = -2[x²-2x*6 +6²-6²+20]
f(a) = -2[(x-6)² -36+20]
f(a) = -2[(x-6)² -16]
f(a) = -2(x-6)² + 32
d'ou S(a) est maxi au point (6;32)
donc M à pour coordonnées (6;32)

c.S(6) = 4f(6) = 4*32 = 128