On Considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-1/2;+l'infini[ par :

f(x)=2x-3+9/(2x+1)

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)

QUESTIONS :

3)a Montrer que la droite D d'équation y=2x-3 est une asymptote de C

3)b Etudier la position de C par rapport à D lorsque x varie dans ]-1/2;+l'infini[

4)a On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.Montrer que pour tout x de ]-1/2;+l'infini[ , f(x)=(8(x+2)(x-1)/(2x+1)²)

4)b En déduire le tableau de variations de f sur ]-1/2;+l'infini[

Compléter le tableau de variations en y portant les limites obtenues au 1. et 2.

5) Déduire du tableau de variation le signe de f(x) lorsque x varie dans ]-1/2;+l'infini[

6) Indiquer le nombre de solutions de l'équation f(x)=10 sur ]-1/2;+l'infini[

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Réponses

2012-11-30T22:22:04+01:00

3a) calcule  \lim_{x \to \infty} ( f(x) - ( 2x - 3 ) )

3b ) calcule le signe de f(x) - ( 2x -3 ) si  + alors C au dessus de D sinon l'inverse.

4a) derivée de 2x - 3 = 2 

      dérivée de 9 / ( 2x + 1 ) = - 9 * 2 / ( 2x + 1 ) ² 

donc dérivée de f = 2 - 9 * 2 / ( 2x + 1 ) ² = ( 2 ( 2x+1)² - 18 ) / ( 2x+1)²

il te reste à vérifier que 8( x+2)(x-1) = 2( 2x+1 )² -18 en développant les 2

 

4b) f ' ( x) = ( 8 ( x + 2 ) ( x - 1 ) / ( 2x +1 ) ² 

( 2x +1 )² > 0 sur l'intervalle  ]-1/2;+l'infini[ 

x+2 >0 sur  ]-1/2;+l'infini[ 

x-1 > 0 sur  ]1;+l'infini[  et x-1 < 0 sur  ]-1/2;1[ 

donc f ' ( x ) < 0 sur  ]-1/2;1[  alors f décroissante

  et f ' ( x ) > 0 sur  ]1;+l'infini[ alors f croissante


5) f ( 1 ) = 2 donc le minimum de la fonction est positif alors f(x) > 0.


6) lim en +infini = + infini donc une solution sur  ]1;+l'infini[

    lim en  -1/2 = + infini donc aussi une solution sur ]-1/2;1[ 


alors 2 solutions sur ]-1/2;+l'infini[