Bonjour je suis en terminal S or cet est de démontrer par récurrence une propriété admise en première, en utilisant les prérequis suivants :
Si la fonction g est définie par g(x) =x alors g est dérivable sur R et g'(x)=1 pour tout réel x.
Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur R alors le produit uv est une fonction dérivable sur R et on a (uv)' = u'v + uv'
Soit n un entier non nul et fn la fonction définie pour x appartenant a R par fn (x)=xn .
Demontrer que pour tout entier naturel n non nul, la fonction fn est derivable sur R et que
fn' (x) =nx n-1 pour tout reel x.

1

Réponses

2014-09-19T11:26:53+02:00
Pour n=1, f1(x)=x
Donc f'1(x)=1=1*x^(1-1)
donc c'est vrai pour n=1
Supposons qu'au rang n on ait fn(x)=x^n et f'n(x)=n*x^(n-1)
fn+1(x)=x^(n+1)=x*x^n=f1(x)*fn(x)
Donc f'n+1(x)=f'1(x)*fn(x)+f1(x)*f'n(x)=fn(x)+f1(x)*n*x^(n-1)
f'n+1(x)=x^n+x*n*x^(n-1)=x^n+n*x^n=(n+1)*x^n
Donc c'est vrai au rang n+1
Donc pour tout n : f'n(x)=nx^(n-1)