Bonjour

,erci de bien m aider a faire cette exercices car j ai pas toujours compris comment procede

Karl Friedrick Gauss (1777 – 1855) était un mathématicien, astronome et physicien allemand de génie.

Surnommé « le prince des mathématiciens », il montra dès l’école primaire des qualités extraordinaires pour le
calcul : alors que son maître demandait aux élèves de la classe de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à
100, il mit seulement quelques instants pour inscrire 5 050 sur son ardoise… et c’était bien le résultat de cette somme !
Pour calculer aussi rapidement la somme S = 1+2+3+…+98+99+100, le jeune Gauss pensa à regrouper astucieusement les
nombres de la façon suivante : S = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)
Ainsi : S = 101+101+101+…+101+101. S étant la somme de 50 termes tous égaux à 101, il ne restait plus au jeune Gauss qu’à
faire mentalement un seul produit : 50 .101 =5 050.

a)
Calculer (astucieusement) les sommes suivantes :
S1 = 1+2+3+4+…+298+299+300
S2 = 1+2+3+…+2 010+2 011+2 012


b)
On considère la somme suivante :

S3 = 5+6+7+…+68+69+70
1.Combien de termes a la somme S3 ?
2.Calculer S3.

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Réponses

2014-09-17T10:56:05+02:00
A) On a vu que Gauss regroupe tous les termes de la somme par deux : le premier avec le dernier, le second avec l'avant dernier, ...
On procède de même avec la somme S1

S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 298 + 299 + 300
Si on regroupe les termes par 2 de la même manière que Gauss cela donne 150 paires :

S1 = (1 + 300) + (2 + 299) + (3 + 298) + ... (150 + 151)
             301            301            301                  301

Les 150 paires sont égales à 301, on fait le même produit que Gauss :
150 x 301 = 45 150

Faisons de même avec S2 :
S2 = (1 + 2012) + (2 + 2011) + (3 + 2010) + ... + (1005 + 1008) + (1006 + 1007)
              2013          2013              2013                      2013                2013

Il y 1006 paires qui sont égales à 2013
1006 x 2013 = 2 025 078



b) S3 = 5+6+7+…+68+69+70
1.Combien de termes a la somme S3 ?
De 5 à 70, il y a 66 termes.

2. S3 = (5 + 70) + (6 + 69) + ... + (37 + 38)
                 75            75                    75
66 x 75 = 4950 donc S3 = 4950