Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en B et tel que AB = 3 et BC = 6
M est un point variable sur le segment [AB]
On considère le point N du segment [AC] et le point P du segment [BC] tels que MNPB est un rectangle.
1) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 4 ?
Préciser alors la position du point M.
2) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 6 ?
Préciser alors la position du point M.
3) peut on trouver des positions du point M telles que l'aire du triangle MNPB soit égale à 2 ?
Préciser alors la position du point M.

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Réponses

2014-09-04T21:14:25+02:00
1) Notons AM=x
L'aire de MNPB est MN*MB
MB=AB-AM=3-x
On applique le théorème de Thalès :
MN/BC=AM/AB donc MN=BC*AM/AB=6*x/3=2x
Donc l'aire de MNPB=2x*(3-x)
On cherche x tel que 2x*(3-x)=4
⇔x(3-x)=2
⇔x²-3x+2=0
⇔(x-1)(x-2)=0
⇔x-1=0 ou x-2=0
⇔x=1 ou x=2
Donc l'aire de MNPB=4 si AM=1 ou si AM=2

2) On cherche x tel que 2x*(3-x)=6
⇔x(3-x)=3
⇔x²-3x+3=0
Δ=(-3)²-4*1*3=-3<0 donc il n'y a pas de solution.

3) On cherche x tel que 2x*(3-x)=2
⇔x(3-x)=1
⇔x²-3x+1=0
Δ=(-3)²-4*1*1=5.
Les 2 solutions sont donc x=(3-√5)/2 et x=(3+√5)/2