Dans un repere orthonormé (O,i.j) on considère les points:
A(0;2) B(-3;0) C(4;-4)

1. Calculer le produit scalaire AB . AC
En déduire la nature du triangle ABC
2. Déterminer une équation de la médiatrice du segment [BC]
3 déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC
4. En déduire une équation du cercle circonscrit au triangle ABC

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Réponses

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2014-08-21T09:03:43+02:00
1. AB a pour coordonnées (-3-0;0-2) soit (-3;-2)
AC a pour coordonnées (4-0;-4-2) soit (4;-6)
AB.AC=-3*4+(-2)*(-6)=-12+12=0
Donc AB et AC sont orthogonaux. ABC est rectangle est A

2. BC a pour coordonnées (4-(-3);-4-0) soit (7;-4)
La médiatrice est perpendiculaire à BC donc son vecteur directeur est orthogonal à BC
Un vecteur orthogonal à BC est (4;7) (Leur produit scalaire est bien nul)
Le coefficient directeur de (BC) est donc 7/4.
La médiatrice à une équation réduite de la forme : y=7/4*x+b
Le milieu de BC a pour coordonnées ((-3+4)/2;(-4+0)/2) soit (1/2;-2)
Donc la médiatrice de (BC) passe par (1/2;-2)
On a donc -2=7/4*1/2+b donc b=-2-7/8=-23/8
Donc (BC) : y=7/4*x-23/8

3) Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
L'hypoténuse est (BC) donc le centre est en I (1/2;-2). Le rayon du cercle est BC/2
BC²=7²+(-4)²=49+16=65
Donc BC=√65 et R=BC/2=√65/2

4) L'équation du cercle circonscrit est donc (x-xI)²+(y-yI)²=R² soit
(x-1/2)²+(y+2)²=65/4