À la suite d'un naufrage, cinq personnes échouent sur une île déserte. Avant de prendre un repos bien mérité, elles décident d'aller à la cueillette des noix de coco.

Épuisées par cette cueillette, elles décident d'attendre au lendemain pour procéder au partage. Pendant la nuit, un naufragé impatient d'avoir sa part se lève, compte le nombre de noix de coco, constate qu'il n'est pas divisible par cinq. Il jette une noix de coco et part avec un cinquième du lot.

Un deuxième se lève, compte le reste, et constate que pour être divisible par cinq, il doit jeter une noix. Il jette donc une noix et prend un cinquième du lot.

Ce geste est imité successivement par les trois autres naufragés, dont chacun doit jeter une noix avant de prendre sa part. Le lendemain, les cinq naufragés comptent les noix restantes, sont obligés d'en jeter une, et se partagent le reste.

L'indiscrétion d'un singe nous apprend qu'il y avait moins de 30 000 noix de coco. Pourriez-vous dire combien de noix de coco les naufragés ont-ils récoltées?

1

Réponses

2014-08-15T15:46:30+02:00
Soit n le nombre de noix au départ.
Le premier en laisse (n-1)*4/5.= (4n-4)/5.
Le deuxième en laisse {[4n-4)/5]-1}*4/5 = (16n-36)/25.
Le troisième en laisse {[16n-36)/25]-1}*4/5 = (64n-244)125.
Le quatrième en laisse {[64n-244)/125]-1}*4/5 = (256n-1476)/625.
Le cinquième en laisse {[256n-1476)/625]-1}*4/5 = (1024n-8404)/3125.

4n-4 et donc n-1 doivent être divisible par 5 : n se trouve parmi 1, 6, 11... (suite arithmétique).
4n-9 doit être divisible par 25. Parmi 4, 24, 44, 64, 84..., 84 est le premier 4n qui convient. n est parmi 21, 46, 71...
16n-61 doit être divisible par 125. Parmi 336, 736, 1136, 1536, 1936... 1936 est le premier 16n qui convient. n est parmi 121, 246, 371...(1024n-8404)
64n-369 doit être divisible par 625. Parmi 7744, 15744, 23744, 31744, 39744... 39744 est le premier 64n qui convient. n est parmi 621, 1246, 1871...
256-2101 doit être divisible par 3125. Parmi 158976, 318976, 478976, 638976, 798876... 798876 est le premier 256n qui convient. n est parmi 3121, 6246, 9371...
Enfin (1024n-8404)/3125 divisé par 5 doit donner 1 comme reste. 15621 est le premier n à satisfaire à cette condition. 31241 est le suivant.
Preuve :
Le premier laisse 12496 noix.
Le deuxième en laisse 9996.
Le troisième en laisse 7996.
Le quatrième en laisse 6396.
Le cinquième en laisse 5116.
Lors du dernier partage, chacun reçoit 1023 noix.
Il doit y avoir un raisonnement plus simple...