Pendant une expérience, l'altitude (en mètres) d'un projectile lancé à partir du sol est donnée à l'instant t (en secondes) par la formule:
h(t)= -5t²+100t

1) Déterminer par un calcul l'instant où le projectile retombe sur le sol.
2) Donner, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction h sur l'intervalle [0 ; 20].
3) On donne ci-après la représentation graphique de la fonction h sur l'intervalle [0 ; 20].
Déterminer graphiquement, en expliquant votre démarche, la période de temps pendant laquelle l'altitude du projectile est supérieur ou égale à 320m.
4) a) Vérifier que h(t)-320= -5(t-16)(t-4)
b) répondre à la question 3 par le calcul.

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Réponses

2014-08-13T13:53:14+02:00
1) h(t)=-5t²+100t=5t(20-t)
On cherche pour quelles valeurs de t, h(t)=0
h(t)=0
⇔ 5t(20-t)=0
⇔ t=0 ou 20-t=0
⇔ t=0 ou t=20
La solution t=0 correspond au départ du projectile au sol. La solution t=20 correspond à l'instant où le projectile retombe au sol.
2) On dérive h(t) :
h'(t)=-10t+100
On cherche t tel que h'(t)=0 soit 100-10t=0 ⇔ t=10
h'(t) ≥ 0 sur [0;10] et ≤0 sur [10;20]
Donc h est croissante sur [0;10] et décroissante sur [10;20]
3) Graphiquement, on voit que l'altitude du projectile est ≥320 pour 4≤t≤16.
Pour cela, on trace la droite y=320 et on regarde quand h est au-dessus de cette droite.
4a) h(t)-320=-5t²+100t-320=-5(t²-20t+64)
On cherche les racines de t²-20t+64
Δ=20²-4*64=400-256=144
Donc les 2 racines sont x1=(20+√144)/2=16 et (20-√144)/2=4
Donc t²-20t+64=(t-4)(t-16)
et h(t)=-5(t-16)(t-4)
4b) Chercher les valeurs de t tel que h(t)≥320 revient à chercher t tel que h(t)-320≥0
Soit -5t(t-16)(t-4)≥0
⇔(t-16)(t-4)≤0
Or t-16≥0 ⇔t≥16
et t-4≥0 ⇔t≥4
Donc (t-16)(t-4)≤0 si 4≤t≤16.