Bonjour tout le monde, je fais appel à vous, car cela fait deux jours que je galère sur cet exercice !


1. Résoudre dans R les systèmes suivants :

a) |17x + 15y = 255 b) |17x +15y = 255
|y = -x + 16.5 |x + y = 15.5

On considère un triangle ABC tel que AB = 15 et AC = 17. On prend un point M sur le segment [BC] et on construit les parallèles à (AB) et (AC) passant par M. La première coupe (AC) en E. La deuxième coupe (AB) en F .
On obtient un parallélogramme AEMF . On note : AF = x et AE = y .

2. a)Faire la figure
b)Montrer que : 17x + 15y = 255
c)AEMF peut il être un losange ?

3. Calculer les longueurs des côtés du parallélogramme AEMF lorsque son périmètre p vaut 33 .

4_.Quelle est la position du point M si p = 32 .

5.a)Montrer que l'on a : 7.5p = 255 - 2x
b)En déduire que : 30 < p < 34 .

1

Réponses

2014-08-12T15:50:15+02:00
1)
 \left \{ {{17x+15y=255} \atop {y=-x+16,5}} \right.

 \left \{ {{17x+15(16,5-x)=255} \atop {y=-x+16,5}} \right.

 \left \{ {{17x-15x=255-247,5} \atop {y=-x+16,5}} \right.

 \left \{ {{2x=7,5} \atop {y=-x+16,5}} \right.

 \left \{ {{x=3,75} \atop {y=12,75}} \right.


 \left \{ {{17x+15y=255} \atop {y+x=15,5}} \right.

 \left \{ {{17x+15(15,5-x)=255} \atop {y=-x+15,5}} \right.

 \left \{ {{17x-15x=255-232,5} \atop {y=-x+15,5}} \right.

 \left \{ {{2x=22,5} \atop {y=-x+15,5}} \right.

 \left \{ {{x=11,25} \atop {y=4,25}} \right.

2)b) Dans le triangle ABC, ME // AB donc on applique Thalès :
CE/AC=ME/AB
Comme AEMF est un parallélogramme ME=AF=x
Par ailleurs CE=CA-AE=17-y. On a donc
(17-y)/17=x/15 soit 15(17-y)=17x
D'ou 17x+15y=255
c) Pour que AEMF soit un losange, il faut que AE=AF soit que x=y

3) Le périmètre du parallélogramme AEMF est 2*(x+y)
On a donc le système :
 \left \{ {{2x+2y=33} \atop {17x+15y=255}} \right.
Soit :
 \left \{ {{17x+15y=255} \atop {y=-x+16,5}} \right.
qui a déjà été résolu au 1).
Donc AF=3,75 et AE=12,75
 
4) si p=32, on a :
 \left \{ {{x+y=16} \atop {17x+15y=255}} \right.

 \left \{ {{17x+15(16-x)=255} \atop {x+y=16}} \right.

 \left \{ {{2x=15} \atop {x+y=16}} \right.

 \left \{ {{x=7,5} \atop {y=8,5}} \right.

Par thalès on a CM/CB=EM/AB=AF/AB=x/15=1/2
Donc M est le milieu de BC

5)a) On a 17x+15y=255
<=> 2x+15x+15y=255
<=> 2x+7,5*(2x+2y)=255
<=> 2x+7,5p=255
<=> 7,5p=255-2x

b) Comme F est sur AB on a nécessairement :
0≤x≤15
<=>-30≤-2x≤0
<=>255-30≤255-2x≤255
<=> 225≤7,5p≤255
<=> 30≤p≤34