Bonjour à tous, voici un exercice du bac S de maths 2014. J"aurais besoin d"un peu d"aide :) Merci d"avance!

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :
- la probabilité qu"une personne malade présente un test positif est 0,99 ;
- la probabilité qu"une personne saine présente un test positif est 0,001.

1) Pour une maladie qui vient d"apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d"estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la popula¬tion d"une métropole est égal à 0,1%. On choisit au hasard une personne dans cette popu¬lation et on lui fait subir le test.

On note M l"événement « la personne choisie est malade » et T l"événement « le test est positif».
a) Traduire l"énoncé sous la forme d"un arbre pondéré.
b) Démontrer que la probabilité P(T) de l"événement T est égale à 1,989 x 10-³.
c) L"affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
Affirmation : « Si le test est positif, il y a moins d"une chance sur deux que la personne soit malade ».

2) Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu"une per¬sonne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par x la proportion de personnes atteintes d"une certaine maladie dans la population.
À partir de quelle valeur de x le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant?

1

Réponses

2014-07-31T16:26:57+02:00
1a) pièce jointe 1

1b)
p(T) = 0,01 x 0,99 + 0,999 x 0,001 = 1.989.10 ^(-3)


1c)
P_T M =  \frac{0,001\times0,99}{1.989.10^{-3}}\approx 0,498


L'affirmation est vrai car 0,498 < 0,5

2) cf pièce jointe 2
p(T) = 0,99x + 0,01(1-x) = 0,989x+0,01
P_T M  \geq 0,95
0,99x / (0,989x+0,001)  \geq 0,95
0,99x \geq 0,95(0,989x+0,001)
0,504x \geq 0,00095
x \geq 0,01883

Le pourcentage de la population atteinte doit être supérieur à 1,883%