Bonjour, aujourd'hui je me permet de poser une petite énigme...

Supposez que, dans un pays inconnu, se trouvent 4 maisons, disposées aux sommets d'un carré de côté d'une longueur de 1km.
Les 4 habitants de ces maisons se sentent bien seuls, et ont du mal à se rejoindre car le terrain entre les maisons est peu praticable. Ils décident alors de construire une route.
Prévoyants, ils optent pour réfléchir avant d'agir. Ils souhaitent que le chemin à construire soit le moins long possible, pour qu'ils puissent faire les travaux nécessaires dans de brefs délais.
La seule condition est donc que les 4 maisons soient reliées, il est acceptable qu'une maison ait à passer par une autre maison pour aller à une troisième maison.

Sont joints la représentation du problème sous forme schématique, ainsi que trois fausses solutions exemples, les trois schémas ne représentent donc pas la construction la plus courte. (ceci est fait pour éviter que l'on réponde au problème trop rapidement, sans réfléchir).

Sont attendus un schéma mais aussi une explication, et un calcul permettant de déterminer la longueur totale de la route à construire.

J'espère que vous prendrez plaisir à chercher la solution.

Cersei Lannister

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j'avais pensé à un cercle reliant les 4 maisons mais ce n'est pas plus court que la fausse solution n°2 :/
je continue de chercher ;)
Bonne chance ;)

Réponses

Meilleure réponse !
2014-07-22T02:15:55+02:00
Voilà un problème intéressant qui oblige à ne pas faire confiance à ce que la géométrie semble nous dire. Il semble en effet que les 2 diagonales constituent les routes les plus courtes mais on peut effectivement trouver moins.
Je propose cette solution :
Je trace une droite passant par le centre du carré et parallèle à 2 des côtés du carré. Depuis chaque maison, on trace une ligne oblique qui rejoint cette droite. A et B se rejoignent en E, C et D se rejoignent en F. E et F sont distincts. La figure est symétrique.
Ce qui donne le schéma ci-joint.
On note α, l'angle BAE. α est compris entre 0 et 45°
J'ai longtemps pensé que le chemin minimum était atteint pour α=45°.
Mais la longueur du chemin est donné par EF+4*AE
On note G l'intersection de (EF) et (AB) et H l'intersection de (EF) et (CD)
On a EF=1-GE-FH
Tanα=GE/GA donc GE=GA*tanα=tanα/2
Comme GE=FH, ça fait EF=1-tanα
Cosα=GA/AE donc AE=GA/cosα=1/2cosα
La longueur du chemin = 1-tanα+4*1/2cosα=1-tanα+2/cosα
On dérive cette fonction en α ce qui donne -1/cos²α+2sinα/cos²α=(2sinα-1)/cos²α
Cette dérivée s'annule pour 2sinα-1=0 soit sinα=0,5 ⇔ α=30°
Le chemin minimum est donc atteint pour α=30°
D'ou EF=1-tanα=1- \frac{ \sqrt{3}}{3}
et AE= \frac{1}{ \sqrt{3}}= \frac{ \sqrt{3}}{3}
Donc le chemin a une longueur de
1- \frac{ \sqrt{3}}{3}+ \frac{4 \sqrt{3}}{3}= \sqrt{3}+1   km
Ce qui fait approximativement 2,732 ce qui est effectivement inférieur à
2\sqrt{2}≈2,828 km qui est la longueur des 2 diagonales.
Quant à démontrer qu'il n'y a pas de chemin plus court, c'est une autre paire de manches...
Il existe peut-être mais je ne l'ai pas trouvé...
Merci beaucoup!! C'est très gentil de votre part
@Charlesetlou : je devrais faire lire ton message à ma fille ;), elle qui suit une filière S, mais n'apprécie guère les maths...X(
@Cersei : j'apprécie Tyrion, je devrais me méfier des éloges de la fratrie démoniaque...
Et comment se fait ce qu'elle n'apprécie guère les maths? Finalement elle peut se spécialiser dans autre chose car avec toi , du coup , les compétences de la famille seront au complet .Et encore , on ne connaît ni la maman ni les frères et soeurs..........ça fume chez les Slyz007 :)
La grande va se spécialiser SVT, la petite semble avoir une inclinaison pour les maths et la mère une pure littéraire. Oui il y a un peu de tout