Bonjour je bloque totalement sur cet exercice aidez moi svp !! Dans le carré ci contre de côté 6 cm, AM=CN=x ou x est un nombre réel variant dans l'intervalle [0;6] Pour quelle valeur de x l'aire du triangle MNC est elle maximale ?

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tu peux mettre une photo du carré ?
voila :)
ok, je m'en occupe ;-)

Réponses

Meilleure réponse !
2014-07-18T01:16:48+02:00
Aire_M_C_N = Aire_ A_B_C_D - Aire _A_M_C_D-Aire _N_M_B\\\\
Aire _A_B_C_D= 6\times 6 = 36\\\\
Aire _A_M_C_D=  \frac{(AM+CD)\times DA}{2}= \frac{(x+6)\times 6}{2} = 3(x+6) \\\\
Aire _N_M_B= \frac{MB\times BN}{2}=  \frac{(6-x)\times (6-x)}{2}  \\\\
Aire _M_C_N  = 36 -  3(x+6) -  \frac{(6-x)^{2}}{2} \\\\
Aire _M_C_N =  \frac{72 - 6(x+6)-(6-x)^{2}}{2} \\\\

Aire _M_C_N =  \frac{72 - 6x-36 - 36 +12x-x^{2}}{2} \\\\
Aire _M_C_N=  \frac{-x^{2}+6x}{2}

Le maximum de la fonction est obtenue comme ceci :
x=   \frac{-b}{2a}

dans notre cas : 
a =  \frac{6}{2} \ et \ b= \frac{-1}{2}

donc : 
x=  \frac{ \frac{-6}{2} }{ \frac{2\times (-1)}{2} }=  \frac{x}{y}  =  \frac{-6}{2}\times  \frac{2}{-2}= \frac{-6}{-2}=3

L'aire du triangle est maximal pour x = 3
Merci beaucoup :)
En fait c'est a = - 1/2 et b = 6/2 = 3 mais tu es retombé sur tes pieds ensuite. ;)
oui c'est exact ! désolé pour l'erreur ^^
à la dernière ligne, il y a "x/y" qui est venue se glisser par erreur ...
2014-07-18T01:47:12+02:00
L'aire du triangle rectangle  MCB  :    
6 x
( 6 – x ) / 2 = (36 – 6 x) / 2 = 18 – 3x

L'aire du triangle rectangle MNB  :
( 6 – x ) ( 6 – x )  / 2 = (36 – 12 x + x²)  / 2 = 18 – 6x + x²  /2
L'aire du triangle MNC  :
(18 – 3x)- (18 – 6x + x²  /2) = 18 – 3x - 18 + 6x - x²  /2 =  3x -  x²  /2  = x ( 3 – x/2 )  

On pose  f(x) = 3x -  x
²  /2  avec  x ϵ [ 0 ; 6 ]

f  est  dérivable  et on a f' (x) = 3 – x  
f' (x) = 0 pour  x =3
f' (x) < 0 pour  x > 3
f' (x) > 0 pour  x < 3
Donc le maximum de la fonction f  est  f(3) = 3 x 3 – 3²/3 = 9 – 9/2 = 9 – 4,5 = 4,5
ainsi l'aire du triangle MNC est maximum pour x = 3
et dans ce cas il est égale a 4,5 cm²

L'aire du triangle MNC est maximal pour x = 3