bonjour j'ai besoin d'aide pour mon devoir svp

AB est un segment de longueur 6 cm. Pour chaque point M du segment AB on pose AM = x
et on construit au dessus de ce segment le carré AMNP et le triangle MBQ rectangle et isocèle en M. On note f(x) l'aire de la figure obtenue et on définit ainsi une fonction f

1. Sur quel intervalle la fonction f est elle définit ?
2. Quelle est la valeur de f(6) et f(0) ?
3. Exprimer la distance MB en fonction de x
4. Déterminer f(x) en fonction de x.
5. Développer, réduire et ordonner f(x)
6. Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = 3/2[(x-2)²+8]
Déterminer le minimum de f

merci d'avance

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Réponses

2014-07-06T17:00:23+02:00
1) la fonction f est définie sur l'intervalle [0;6]

2) si x=0, A et M sont confondus. Donc la figure est un triangle isocèle rectangle ABQ de côté 6. Donc son aire est 1/2*AQ*AB=1/2*6*6=18 cm²
si x=6, M et B sont confondus. La figure est un carré AMNP de côté 6 donc son aire est 6²=36 cm²
f(0)=18 et f(6)=36

3) MB=AB-AM=6-x

4) f(x) = Aire de AMNP+Aire de MBQ
Aire AMNP=x²
Aire MBQ=1/2*MB*MQ=1/2*(6-x)²
f(x)=x²+1/2(6-x)²

5) f(x)=x²+1/2*(36-12x+x²)=x²+x²/2-6x+18
f(x)=3x²/2-6x+18

6) f(x)=3/2(x²-4x+12)
f(x)=3/2(x²-4x+4-4+12)
f(x)=3/2((x-2)²-4+12)
f(x)=3/2((x-2)²+8)

(x-2)² est toujours positif donc le minimum est atteint quand (x-2)²=0 soit quand x=2
f(2)=3/2*8=12

Meilleure réponse !
  • Omnes
  • Modérateur confirmé
2014-07-06T18:19:24+02:00
Salut,

1) M appartenant à [AB], M peut être confondu à A (AM = 0) ou alors confondu à B (AM = 6) la fonction f est donc définie sur l'intervalle [0;6]

2)
f est l'aire de la figure obtenue, c'est à dire de l'aire de APNM et de l'aire de MBQ.
- Quand AM = 6, M est confondu avec B, donc la figure MBQ est inexistante, il nous reste juste le carré APNM, de côté [AM], Aamnp = 6*6 = 36.
On a donc f(6) = 36
- Quand AM = 0, M est confondu à A, donc la figure Aamnp est inexistante, il nous reste juste le triangle isocèle rectangle MQP, de côté AB = 6
Ambq = 6*6 /2 = 36/2 = 18.
On a donc f(0) = 18.

3) Le segment [AB] est composé du segment [AM] et [MB], on a donc :
AB = AM + MB
par conséquent ; MB = AB - AM
De plus, on sait que AB = 6 et AM = x,
On a donc : MB = 6-x.

4) La fonction f associe x, longueur de AM à l'aire de la figure APNQB, composée d'un triangle isocèle MBQ et d'un carré APNM.
Avec AM= x, l'aire du carré est donc : AM * AP = x * x = x²
Avex MB = 6-x, l'aire du triangle isocèle est donc : (6-x)(6-x) / 2

On a donc : f(x) =  \frac{(6-x)^{2}}{2} +  x^{2}

On développe et réduit :

f(x) = \frac{(6-x)^{2}}{2} + x^{2} \\ f(x) = \frac{36 - 12x + x^{2} }{2} + \frac{2x^{2} }{2} \\ f(x) = \frac{36 - 12x + 3 x^{2} }{2} \\
f(x) = \frac{3 x^{2} - 12x + 36 }{2}

5)
 \frac{3}{2} [ (x-2)^{2} + 8 ] \\
 \frac{3}{2} (x-2)^{2} +  \frac{24}{2} \\
 \frac{3(x-2)^{2}}{2} + \frac{24}{2} \\
 \frac{3( x^{2} - 4x + 4)}{2} + \frac{24}{2}\\
 \frac{3 x^{2}  -12x + 12 + 24}{2} \\
 \frac{3 x^{2}  -12x + 36}{2} = f(x)


Cette forme est appellée forme canonique du polynôme du second degrè, caractérisée par : a(x-α)+β

Le minimum de la fonction atteint son minimum en α, c'est à dire ici en 2.
f(2) =  \frac{3}{2} [(2-2)^{2} + 8]\\
 \frac{3}{2} [0 + 8]\\
 \frac{8*3}{2} \\
 \frac{24}{2} = 12\\

Bonne fin de journée !