Niveau premiere S, j'aurais besoin de votre aide.

Une urne contient n jetons (n ≥ 8) indiscernable au toucher dont 7 sont verts et les autres sont rouges.
On y prélève,successivement et en remettant le jeton prélevé dans l’urne à chaque fois, deux
jetons.
On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de couleurs obtenues lors du tirage

1. Dans le cas où n=10, à l’aide d’un arbre de probabilité, déterminer la probabilité de l’évènement {X=1}

2. (a) Dans le cas général, déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de X.

(b) Montrer que l’espérance mathématique de X est : E(X)=(n²+14n-98)/n²

3. On pose, pour tout x>0 : f(x) = (x²+14x-98)/x ²
(a) Etudier les variations de f.

(b) En déduire n pour que l’espérance soit maximale.


Merci :)




1

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Meilleure réponse !
2014-05-31T00:20:52+02:00
Bonsoir,

1. Dans le cas où n=10, à l’aide d’un arbre de probabilité, déterminer la probabilité de l’événement {X=1}

Arbre en pièce jointe.

Si n = 10, alors il y a 7 jetons verts et 3 jetons rouges.
X = 1 s'il n'y a qu'ne seule couleur ==> le tirage est (vert-vert) ou (rouge-rouge).

p(X=1)=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{10}\times\dfrac{3 }{10}\\\\p(X=1)=\dfrac{49}{100}+\dfrac{9}{100}\\\\p(X=1)=\dfrac{58}{100}\\\\\boxed{p(X=1)=0,58}

2. (a) Dans le cas général, déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de X.

En général, parmi les n jetons, il y a 7 jetons verts et (n-7) jetons rouges.

Nouvel arbre en pièce jointe.

p(X=1)}=\dfrac{7}{n}\times\dfrac{7}{n}+\dfrac{n-7}{n}\times\dfrac{n-7}{n}\\\\p(X=1)}=(\dfrac{7}{n})^2+(\dfrac{n-7}{n})^2\\\\p(X=1)}=\dfrac{49}{n^2}+\dfrac{(n-7)^2}{n^2}\\\\p(X=1)}=\dfrac{49+(n-7)^2}{n^2}\\\\p(X=1)}=\dfrac{49+n^2-14n+49}{n^2}\\\\\boxed{p(X=1)=\dfrac{n^2-14n+98}{n^2}}

p(X=2)=\dfrac{7}{n}\times\dfrac{n-7}{n}+\dfrac{n-7}{n}\times\dfrac{7}{n}\\\\p(X=2)=\dfrac{7(n-7)}{n}+\dfrac{7(n-7)}{n}\\\\p(X=2)=\dfrac{7(n-7)+7(n-7)}{n}\\\\p(X=2)=\dfrac{7n-49+7n-49}{n}\\\\\boxed{p(X=2)=\dfrac{14n-98}{n}}

La loi de probabilité est 
\boxed{p(X=1)=\dfrac{n^2-14n+98}{n^2}}\\\boxed{p(X=2)=\dfrac{14n-98}{n}}

(b) Montrer que l’espérance mathématique de X est : E(X)=(n²+14n-98)/n²

E(X)=1\times\dfrac{n^2-14n+98}{n^2}+2\times\dfrac{14n-98}{n^2}\\\\E(X)=\dfrac{(n^2-14n+98)+2(14n-98)}{n^2}\\\\E(X)=\dfrac{n^2-14n+98+28n-196}{n^2}\\\\\boxed{E(X)=\dfrac{n^2+14n-98}{n^2}}

33. On pose, pour tout  x>0 : f(x) = (x²+14x-98)/x ²
(a) Etudier les variations de f.

f(x)=\dfrac{x^2+14x-98}{x^2}}\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2+14x-98)'\times x^2-(x^2)'\times(x^2+14x-98)}{x^4}}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+14)\times x^2-(2x)\times(x^2+14x-98)}{x^4}}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^3+14x^2-2x^3-28x^2+196x}{x^4}}\\\\f'(x)=\dfrac{-14x^2+196x}{x^4}}\\\\f'(x)=\dfrac{-14x(x-14)}{x^4}}

\boxed{f'(x)=\dfrac{-14(x-14)}{x^3}}}

Tableau de signes de la dérivée et variations de f.
Racines : Numérateur : -14(x-14) = 0 ==> x - 14 = 0
                                                      ==> x = 14
               Dénominateur : x^3 = 0 ==> x = 0

\begin{array}{|c|ccccc||}x&0&&14&&+\infty\\ -14&-&-&-&-&\\ x-14&-&-&0&+&\\x^3&0&+&+&+&\\ f'(x)&|&+&0&-&\\ f(x)&|&\nearrow&1,5&\searrow& \\\end{array}

(b) En déduire n pour que l’espérance soit maximale.

La fonction f est maximale pour x = 14.

Par conséquent, l'espérance sera maximale pour n = 14
Merci, merci beaucoup !!! :)
Hiphigenie, pourquoi tu calculs f'(x) dans le 3b) ??