Reconnaissance de la courbe représentative sur [-3;3] par f f(x)=x²+x+1/x²+2
1.Calculer la dérivée de la fonction
2.Etudier le signe de la dérivée de la fonction
3. Dresser le tableau des variations de la fonctions.

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voici le liens
Dite le moi si vous l avez vu ou pas
oui c'est bon, j'y ai répondu :-)
Merciii
Il y a une faute de frappe dans ton énoncé. Le dénominateur est x²+1 si je regarde ton autre devoir.

Réponses

Meilleure réponse !
2014-05-28T22:54:25+02:00
Bonsoir,

1) f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2+x+1)'\times(x^2+1)-(x^2+1)'\times(x^2+x+1)}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+1)-2x(x^2+x+1)}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^3+2x+x^2+1-2x^3-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}}

2) Signe de la dérivée f'(x)

Le dénominateur de la fraction est strictement positif (c'est le carré d'une somme de deux nombres positifs).
==> Le signe de la dérivée est le même que le signe du numérateur.

Tableau de signes de f'(x)
Racines du numérateur : 
(1 - x)(1 + x) = 0 ==> 1 - x = 0   ou   1 + x = 0
                         ==> -x = -1  ou  x = -1
                         ==> x = 1  ou  x = -1
Le dénominateur est strictement positif.

\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-3&&-1&&1&&3\\ 1-x&&+&+&+&0&-&\\ 1+x&&-&0&+&+&+&\\ (x^2+1)^2&&+&+&+&+&+&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}

3) Variations de la fonction f

\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-3&&-1&&1&&3 \\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\\f(x)&0,7&\searrow&\dfrac{1}{2}=0,5&\nearrow&\dfrac{3}{2}=1,5&\searrow&1,3\\ \end{array}