boujour je suis en seconde et j'ai un DM de math j'ai repondu au questions mais je pense m'etre trompé surtout à la b)

Soit la fonction f définie sur ]0; +infinie[ par :

f(x) = 1/x

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, vecteur i vecteur j)

a) Tracer la représentation graphique C de la fonction f et la demi-droite D d'équation y = 1/2x - 1/2 avec x>0.

Verifier par le calcul que les points A(2; 1/2) appartient à la courbe C et à la droite D.

b) Determiner graphiquement l'ensemble des nombres réels strictment positifs solutions de l'inéquation :

1/2x - 1/2 <(ou égal) 1/x

c) Prouver que l'innéquation (1) est équivalente pour x > 0 à (x²- x- 2)/2x < (ou egal) 0

d) Vérifier que, pour tout nombre réel x,

(x-2)(x+1) = x² -x-2.

dresser le tableau de signe de (x²-x-2)/2x pour x appartenant à ]0;+infini[ et retrouver les resultats de b)

merci si vous pouvez m'aider :)

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Réponses

2012-05-05T20:15:32+02:00
On peut écrire f comme une composition de fonctions: f(x) = g o h (x), avec g: x-> x - 1/x et h: x-> ln x
h est croissante sur ]1;+∞[, et l'inmage de cet intervalle est lR+ g est croissante sur lR+, car c'est la somme de deux fonction croissantes sur cet intervalle (x et -1/x) Donc f est croissante.
On peut aussi passer par les dérivées: g'(x) = 1 + 1/x² h'(x) = 1/x
Donc f'(x) = h'(x) . g' o h(x) = 1/x . (1 + 1/(ln x)²)
On a: (1/ ln x)² > 0 sur ]1;+∞[ car c'est un carré; donc (1 + 1/(ln x)²) > 0 sur cet intervalle 1/x > 0 sur ]0, +∞[
Donc f'(x) >0 sur ]1;+∞[