PHOTO ÉDITÉE - Besoin d'aide avec 2-b) ... j'ai gaspillé ma journée dessus parce que je suis trop nulle en maths --'

Pour info:
Je sais que 1) AC = 4,2cm
ABCD est un carré, donc 4 angles droits, et AB = BC = CD = DA = 3cm

Un ÉNORME merci d'avance!! 10 points + 5 points au meilleur, je dois rendre ma feuille demain D: je suis fichue..

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Réponses

2014-05-26T23:42:26+02:00
Bonsoir,

ABCD est un carré de côté égal à 3 cm ==> AB = BC = CD = AD = 3 cm.
Les faces latérales sont des triangles équilatéraux ==> SA = SB = AB = 3cm.
                                                                         ==> SB = SC = BC = 3cm.
                                                                         ==> SC = SD = DC = 3cm.  
                                                                         
Par conséquent, toutes les arêtes de la pyramide ont la même longueur 3 cm.
AB = BC = CD = AD = SA = SB = SC = SD = 3 cm

1) Dans le triangle ABC rectangle en B,

AC^2=AB^2+BC^2\\AC^2 = 3^2 +3^2\\AC^2=9+9\\AC^2=18\\AC=\sqrt{18}\\AC=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\\boxed{AC=3\sqrt{2}\ cm\approx4,2\ cm}

2) a) Le triangle ASC est-il rectangle ?

Vérifions si la relation de Pythagore SA²+SC²=AC² est vérifiée dans le triangle ASC.
SA^2=3^2=9\\SC^2=3^2=9\\\\\Longrightarrow SA^2+SB^2=9+9=18\\\\AC^2=18\ (voir\ point\ 1))\\\\\Longrightarrow \boxed{SA^2+SB^2=AC^2}

La relation de Pythagore est vérifée.
Donc le triangle ASC est rectangle en S.

b) Nature exacte du triangle ASC.

Le triangle ASC est rectangle.
Le triangle ASC est isocèle car SA = SC = 3

Le triangle ASC est un triangle rectangle isocèle.

3) La somme des mesures d'un triangle est égale à 180°.

Le triangle ASC est rectangle ==> l'angle ASC = 90°
Le triangle ASC est isocèle ==> l'angle SAC = l'angle SCA

ASC + SAC + SCA = 180
ASC + SAC + SAC = 180
ASC + 2 * SAC = 180
90° + 2 * SAC = 180
2 * SAC = 180 - 90
2 * SAC = 90
SAC = 90/2
SAC = 45.

Les mesures des angles SAC et SCA sont égales à 45°.

4) a) H est le point d'intersection des deux diagonales du carré ABCD.
Ces diagonales se coupant en leurs milieux, nous en déduisons que H est le milieu de [AC]
Dans le triangle isocèle SAC, [SH] est donc la médiane issue de S.
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est éhalement la hauteur issue de ce sommet.
D'où [SH] est la hauteur issue de S ==> (SH) est perpendiculaire à (AC).

De même, (SH) est perpendiculaire à (BD).

D'où, (SH) est perpendiculaire à la base ABCD de la pyramide.

Par conséquent, H est le pied de la hauteur de la pyramide.

b) Dans un triangle rectangle isocèle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Dans le triangle ASC, la longueur de la médiane issue de S est SH (voir point 4a).
La longueur de l'hypoténuse est AC.

Donc SH = la moitié de AC
Merci INFINIMENT monsieur... vous m'avez littéralement sauvé la vie, littéralement... merci, merci Hiphigenie. Je ne pourrai jamais suffisament vous remercier!!
C'est trop, c'est trop !
Avec plaisir :)