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2014-05-27T08:38:35+02:00
1) ABCD est un carré. Par Pythagore :
AC²=AB²+BC²=3²+3²=18
AC=3 \sqrt{2} ≈4,2

2)a) Par hypothèse, SAB et SBC sont équilatéraux.
Donc AB=SA=SB=SC=BC=3
SA²=9
SC²=9
AC²=18
Donc AC²=SA²+SC²
D'après le réciproque de Pythagore, ASC est rectangle en S.
2)b) SA=SC donc ASC est rectangle isocèle en S

3) Dans un triangle isocèle, les angles à la base (ici en A et C) sont égaux.
Donc SAC=SCA
Or SAC+SCA+ASC=180 donc 2*SAC=180-ASC=180-90
Donc SAC=SCA=90/2=45°

4)a) Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu donc H est le milieu de AC.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet où le triangle est isocèle est confondue avec la médiatrice du côté opposé. Donc la hauteur issue de A est la médiatrice de AC donc le pied de la hauteur issue de A est le milieu de AC soit H.
4b) SA²=SH²+HC²
HC=AC/2 donc HC²=AC²/4=18/4=9/2
SH²=SA²-HC²=9-9/2=9/2
Donc SH= \frac{3}{ \sqrt{2}}= \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Donc SH=AC/2