Bonsoir et merci de m'aider pour ce devoir de maths que je n'arrive pas à faire.
Nous assimilons la forme des arches d'une voûte à celle d'une parabole.
Ces arches s'appuient sur deux points distants de 5,6 mètres .Le sommet de la parabole a une hauteur de 4,5 mètres. A quelle distance minimale du pied de l'arche doit se tenir un touriste mesurant 1,90m afin d'éviter que sa tête ne heurte la voûte?
Indication: on se place dans un repère et les coordonnées du sommet sont (0;4,5).

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2014-05-18T23:43:15+02:00
Bonsoir,

Figure en pièce jointe.

Si le sommet de la parabole admet comme coordonnées (0 ; 4,5), alors la parabole admettra une équation de la forme : y = ax² + 4,5.
Les points d'intersection de cette parabole avec l'axe des abscisses ont comme coordonnées (-2,8 ; 0) et (2,8 ; 0)
Déterminons la valeur de a en remplaçant x par 2,8 et y par 0.

a\times2,8^2+4,5=0\\7,84\ a + 4,5 = 0\\7,84\ a=-4,5\\\\a=\dfrac{-4,5}{7,84}=\dfrac{-450}{784}\\\\a=\dfrac{-225}{392}

D'où l'équation de la parabole est :  y=\dfrac{-225}{392}x^2+4,5

Afin d'éviter que la tête du touriste ne heurte la voûte, il faut trouver les valeurs de x telles que  \dfrac{-225}{392}x^2+4,5<1,9

Résolvons cette inéquation.

\dfrac{-225}{392}x^2+4,5>1,9\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+4,5-1,9>0\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+2,6>0\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+\dfrac{1019,2}{392}>0\\\\-225x^2+1019,2>0

Tableau de signes.
Racines : 
-225x^2+1019,2=0\\-225x^2=-1019,2\\225x^2=1019,2\\\\x^2=\dfrac{1019,2}{225}\\\\x=\sqrt\dfrac{1019,2}{225}}\ \ ou\ \ x=-\sqrt\dfrac{1019,2}{225}}\\\\x=\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}\ \ ou\ \ x=-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}

\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-2,8&&-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}&&\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}&&2,8\\  -225x^2+1019,2&&-&0&+&0&-& \\\end{array}\\\\\\-225x^2+1019,2>0\Longleftrightarrow x\in]-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}};\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}[

Arrondissons : \dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}\approx2,1

D'où -2,1 < x < 2,1.

Or les pieds de voûte correspondent à x = -2,8 et -2,8.

Le touriste ne peut donc pas de trouver à une distance inférieure à 2,8 - 2,1 = 0,7 m des pieds de la voûte.

Afin d'éviter que la tête du touriste ne heurte la voûte, il doit se situer à une distance du pied de la voûte allant de 0,70 m à 4,9 m