Soit la fonction g définie sur R par : g(x)=4x^3 -3x-8 1) Eudier le signe de variation de g sur R 2) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet dans R une unique solution que l'on note alpha . Déterminer un encadrement de alpha d'amplitude 10^-2. 3)Déterminer le signe de g sur R

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Réponses

2012-11-17T17:20:16+01:00

1)

g'(x)=12x^2-3=3(4x^2-1)=3(2x-1)(2x+1)

 

Si -1/2 <= x <= 1/2 , g'(x) <= 0 Donc g est déroissante

 

Si x <= -1/2 ou x >= 1/2 , g'(x) >=0 Donc g est croissante

 

 

lim en -infini g(x)=-infini

g(-1/2)=-7

g(1/2)=-9

lim en +infini g(x)=+infini

 

2)

La fonction g est croissante donc monotone en 1/2 et +infini, d'autre part g(1/2)=-9 et lim +infini g=+infini

 

-9 < 0 < +infini, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermediaires, il existe une valeur alpha supérieure à 1/2 telle que g(alpha)=0

 

je te laisse trouver la valeur approchée de alpha avec ta calculette.

 

3) si x <= alpha g(x) <=0

   si x >= alpha g(x) >= 0