Bonjour activité sur les inéquations

On considère un champ rectangulaire de 100m sur 80m. Soit x un nombre compris entre 0 et 80. On diminue la longueur du champ de x mètres et on augmente la largeur de x mètres. On cherche les valeurs de x pour lesquelles ces modifications conduisent à une augmentation de la surface du champ.

Question Montrer que résoudre ce problème revient à determiner toutes les valeurs de x qui vérifient : 20x-x^2 > 0
( x^2 = x au carré)
Résoudre algébriquement l'inéquation.

Merci d'avance, j'ai déjà quelques pistes mais rien de bien concluant...

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2014-05-16T21:34:00+02:00
Bonsoir,

L'aire initiale du champ est égale à 100 * 80 = 8000 m².
La longueur est diminuée de x ==> la nouvelle longueur est 100 - x
La largeur est augmentée de x ==> la nouvelle largeur est 80 + x.
L'aire (en m²) de ce champ est alors égale à (100 - x)(80 + x).

Rechercher la valeur de x telle que l'aire initiale a augmenté revient à résoudre l'inéquation : (100 - x)(80 + x) > 8000
soit, en développant : 
8000 + 100x - 80x - x² > 8000
8000 + 100x - 80x - x² - 8000 > 0
20x - x² > 0

Résolution algébrique de l'inéquation 20x - x² > 0.

20x - x² > 0
x(20 - x) > 0
Tableau de signes de x(20 - x)
Racines : x(20 - x) = 0
               x = 0  ou  20 - x = 0
               x = 0  ou  -x = -20
               x = 0  ou  x = 20

\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&20&&80 \\ x&0&+&+&+&\\ 20-x&+&+&0&-&\\x(20-x)&0&+&0&-&\\  \end{array}\\\\\\x(20-x)>0\Longleftrightarrow x\in]0;20[\\\\\boxed{S=]0;20[}

Par conséquent,  les valeurs de x pour lesquelles ces modifications conduisent à une augmentation de la surface du champ sont les réels appartenant à l'intervalle ]0;20[, soit les valeurs de x comprises entre 0 et 20.